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Boxplot

Ein Boxplot zeigt auf einen Blick, wo die Mitte von Daten liegt und wie stark sie streuen. Er besteht aus fünf Kennwerten – und eignet sich besonders gut, um zwei Datenreihen zu vergleichen, zum Beispiel die Sprungweiten zweier Klassen.

Die fünf Kennwerte

Für einen Boxplot brauchst Du die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung:

Minimum – der kleinste Wert
unteres Quartil $Q_1$ – der Median der unteren Hälfte; etwa ein Viertel der Werte liegt darunter
Median – der mittlere Wert der geordneten Liste
oberes Quartil $Q_3$ – der Median der oberen Hälfte; etwa ein Viertel der Werte liegt darüber
Maximum – der größte Wert

Wie Du den Median bestimmst, steht ausführlich bei Mittelwert, Median, Modus und Spannweite.

Quartile bestimmen

Ordne die Daten zuerst der Größe nach (Rangliste). Dann teilst Du sie am Median in eine untere und eine obere Hälfte. Bei einer ungeraden Anzahl gehört der Median selbst zu keiner der beiden Hälften.

Beispiel 1: ungerade Anzahl (9 Werte)

\[ \underbrace{12;\ 15;\ 17;\ 18}_{\text{untere Hälfte}};\ \ \mathbf{21};\ \ \underbrace{23;\ 26;\ 30;\ 34}_{\text{obere Hälfte}} \]

Median $= 21$. Untere Hälfte: $Q_1 = \frac{15 + 17}{2} = 16$. Obere Hälfte: $Q_3 = \frac{26 + 30}{2} = 28$.

Beispiel 2: gerade Anzahl (10 Werte)

Sprungweiten der Klasse 7a in Dezimetern:

\[ \underbrace{28;\ 31;\ 33;\ 35;\ 36}_{\text{untere Hälfte}}\ \Big|\ \underbrace{38;\ 40;\ 41;\ 44;\ 52}_{\text{obere Hälfte}} \]

Median $= \frac{36 + 38}{2} = 37$, $Q_1 = 33$ (Mitte der unteren Hälfte), $Q_3 = 41$, Minimum $= 28$, Maximum $= 52$.

Achtung: verschiedene Rechenregeln

Für Quartile gibt es mehrere Regeln, die bei manchen Daten leicht verschiedene Werte liefern. Hier und im Statistik-Rechner wird – wie in den meisten Schulbüchern – der Median der unteren bzw. oberen Hälfte genommen. Taschenrechner und Tabellenprogramme rechnen manchmal anders. Schau im Zweifel, welche Regel in Deinem Unterricht verwendet wird.

Boxplot zeichnen

Zeichne eine Zahlengerade mit passender Einteilung, die vom Minimum bis zum Maximum reicht.
Zeichne über der Achse eine Box von $Q_1$ bis $Q_3$.
Markiere den Median mit einem Strich in der Box.
Zeichne die Antennen (Whisker) von der Box bis zum Minimum und bis zum Maximum.

Boxplot der Sprungweiten der Klasse 7a (in dm). Die rote Linie ist der Median.

Boxplot ablesen

Die fünf Kennwerte teilen die Daten in vier Abschnitte mit jeweils etwa einem Viertel (25 %) der Werte:

Zwischen Minimum und $Q_1$, zwischen $Q_1$ und Median, zwischen Median und $Q_3$ sowie zwischen $Q_3$ und Maximum liegt jeweils ungefähr ein Viertel der Daten.
In der Box liegt die mittlere Hälfte (50 %) der Daten.
Die Breite der Box heißt Quartilsabstand: $Q_3 - Q_1$. Er misst, wie stark die mittleren Werte streuen.
Die gesamte Länge ist die Spannweite: Maximum − Minimum.

Für die Klasse 7a: Quartilsabstand $41 - 33 = 8$, Spannweite $52 - 28 = 24$. Die Hälfte der Kinder ist zwischen 33 und 41 dm weit gesprungen.

Merke

Eine breite Box oder lange Antennen bedeuten nicht „mehr Werte“, sondern dass die Werte in diesem Bereich weiter auseinanderliegen. In jedem der vier Abschnitte liegen gleich viele Werte.

Zwei Boxplots vergleichen

Die Klasse 7b ist auch gesprungen. Zeichnet man beide Boxplots über dieselbe Achse, sieht man die Unterschiede sofort:

	Minimum	$Q_1$	Median	$Q_3$	Maximum	Quartilsabstand	Spannweite
Klasse 7a	28	33	37	41	52	8	24
Klasse 7b	25	34	42	47	55	13	30

Lage: Der Median der 7b (42 dm) liegt deutlich über dem der 7a (37 dm). Die Hälfte der 7b ist weiter als 42 dm gesprungen – in der 7a nur ein Viertel weiter als 41 dm.
Streuung: Die Box der 7b ist breiter (Quartilsabstand 13 statt 8). Die Leistungen in der 7b sind also unterschiedlicher, die 7a ist einheitlicher.

Tipp für Textaufgaben

Vergleiche immer zuerst die Lage (Median) und dann die Streuung (Quartilsabstand, Spannweite) und antworte mit ganzen Sätzen, die die Zahlen nennen.

Ausreißer

Liegt ein Wert sehr weit von den anderen entfernt, kann er die Antennen stark verlängern. Eine verbreitete Faustregel: Ein Wert ist ein Ausreißer, wenn er mehr als das 1,5-Fache des Quartilsabstands unter $Q_1$ oder über $Q_3$ liegt. Solche Werte zeichnet man oft als einzelne Punkte, und die Antenne endet beim letzten Wert, der kein Ausreißer ist.

Beispiel

Klasse 7a: $Q_3 + 1{,}5 \cdot (Q_3 - Q_1) = 41 + 1{,}5 \cdot 8 = 53$. Der weiteste Sprung mit 52 dm liegt darunter – er ist kein Ausreißer.

Eigene Daten auswerten? Der Statistik-Rechner bestimmt alle Kennwerte und zeichnet den Boxplot.

Online üben

Gib mehrere Werte mit Semikolon getrennt ein, zum Beispiel 16; 21; 28 für $Q_1$; Median; $Q_3$. In Stufe 2 bestimmst Du alle fünf Kennwerte, in Stufe 3 wertest Du einen Boxplot aus.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: Quartile geordneter Daten

Aufgabe 1
$\text{Daten: } 4;$ $4;$ $6;$ $8;$ $10;$ $13;$ $20;$ $29$

$Q_1 = 5;\ \ \text{Median} = 9;\ \ Q_3 = 16{,}5$
Aufgabe 2
$\text{Daten: } 1;$ $1;$ $3;$ $5;$ $7;$ $11;$ $12;$ $17;$ $17;$ $18;$ $20;$ $20$

$Q_1 = 4;$ $\text{Median} = 11{,}5;$ $Q_3 = 17{,}5$
Aufgabe 3
$\text{Daten: } 13;$ $19;$ $22;$ $28;$ $29;$ $38;$ $39;$ $46$

$Q_1 = 20{,}5;$ $\text{Median}$ $= 28{,}5;$ $Q_3 = 38{,}5$
Aufgabe 4
$\text{Daten: } 1;$ $5;$ $5;$ $5;$ $6;$ $7;$ $9;$ $15;$ $17;$ $18;$ $20$

$Q_1 = 5;\ \ \text{Median} = 7;\ \ Q_3 = 17$
Aufgabe 5
$\text{Daten: } 3;$ $8;$ $11;$ $11;$ $11;$ $13;$ $14;$ $16;$ $17;$ $21;$ $23;$ $23$

$Q_1 = 11;$ $\text{Median} = 13{,}5;$ $Q_3 = 19$
Aufgabe 6
$\text{Daten: } 13;$ $14;$ $15;$ $21;$ $29;$ $36;$ $49$

$Q_1 = 14;\ \ \text{Median} = 21;\ \ Q_3 = 36$

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Quartile und Boxplot

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–10.

Arbeitsblatt: Boxplots zeichnen und ablesen

Boxplots zum Selbstzeichnen über einer Achse – oder fertige Boxplots zum Ablesen. Mit Lösungsblatt, bei jedem Klick neue Daten. Klasse 7–10.

Weiterlesen: Box-Plot bei Wikipedia

RechnerStatistik-Rechner – Mittelwert, Median, Quartile, StandardabweichungZahlen eingeben und Mittelwert, Median, Modus, Spannweite, Quartile, Varianz, Standardabweichung und Boxplot erhalten.Klasse 5–13 · Stochastik & Statistik ErklärungMittelwert, Median, Modus und SpannweiteDaten mit Kennwerten beschreiben – Durchschnitt, Zentralwert, häufigster Wert, Spannweite, Quartile und Boxplot.Klasse 5–8 · Stochastik & Statistik ErklärungVarianz und Standardabweichung – berechnen und deuten, mit n und n − 1Streuung messen – Abweichungen quadrieren, durch n oder n − 1 teilen, Wurzel ziehen. Mit Verschiebungssatz, Zufallsgrößen und Binomialverteilung.Klasse 8–13 · Stochastik & Statistik ErklärungDaten und Diagramme – Strichliste, Säulen-, Balken- und KreisdiagrammDaten mit der Strichliste sammeln, Häufigkeiten bestimmen und als Säulen-, Balken-, Kreis-, Streifen- oder Liniendiagramm darstellen.Klasse 3–7 · Stochastik & Statistik RechnerDiagramm-Rechner – Säulen-, Balken- und Kreisdiagramm erstellenDaten oder Strichliste eingeben und Säulen-, Balken- oder Kreisdiagramm mit Häufigkeitstabelle, Prozenten und Winkeln erhalten.Klasse 3–7 · Stochastik & Statistik ErklärungAbsolute und relative Häufigkeit – Strichliste, Häufigkeitstabelle und AnteileStrichliste und absolute Häufigkeit, Anteile als Bruch, Dezimalzahl und Prozent, Gruppen vergleichen, Klassen bilden und ein Würfel-Experiment zum Gesetz der großen Zahlen.Klasse 4–7 · Stochastik & Statistik