Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

Dieselben Personen werden zweimal gemessen – vor und nach einem Training, mit altem und neuem Gerät, morgens und abends. Ob sich etwas verändert hat, prüft der gepaarte t-Test, wenn die Differenzen ungefähr normalverteilt sind. Sind sie es nicht, gibt es Ausreißer oder nur eine Bewertungsskala, nimmt man den Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test. Er arbeitet nur mit den Rängen der Differenzen und ihren Vorzeichen.

Die Idee in drei Schritten

1. Differenzen bilden: Für jedes Paar $d_i = \text{nachher} - \text{vorher}$ (oder umgekehrt – nur einheitlich).
2. Beträge ordnen: Die Beträge $|d_i|$ bekommen Ränge, der kleinste Betrag Rang 1. Das Vorzeichen merkt man sich.
3. Getrennt addieren: $W^+$ ist die Summe der Ränge mit positivem, $W^-$ die mit negativem Vorzeichen.

Hat sich nichts verändert, sind positive und negative Differenzen gleich häufig und gleich groß zu erwarten – $W^+$ und $W^-$ liegen dann nah beieinander. Steckt hinter fast allen großen Beträgen dasselbe Vorzeichen, wird eine der beiden Summen sehr klein.

Exakte Verteilung und kritischer Wert

Für $n = 8$ gibt es $2^8 = 256$ Muster. Zählt man für jedes die Summe $W^+$ aus, ergibt sich die folgende symmetrische Verteilung um $\frac{36}{2} = 18$:

Ablehnungsbereich zweiseitig bei α = 5 % · grün umrandet: $W^+ = 33$ aus dem Beispiel

Der kritische Wert für $n = 8$ ist 3: Nur die Muster mit $W \leq 3$ haben zusammen (auf beiden Seiten) eine Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 %. Im Beispiel ist $W = 3 \leq 3$ – $H_0$ wird abgelehnt, das Training hat die Lesegeschwindigkeit signifikant verändert. Der exakte p-Wert ist $2 \cdot P(W^+ \leq 3) = 2 \cdot \frac{5}{256} \approx 0{,}0391$.

Kritische Werte für W

Abgelehnt wird, wenn $W$ kleiner oder gleich dem Tabellenwert ist. Einseitig vergleicht man die Summe, die bei der vermuteten Richtung klein sein sollte (vermutet man eine Zunahme, also $W^-$). Ein Strich heißt: Bei so wenigen Paaren ist kein Ergebnis signifikant. Alle Werte sind mit der exakten Verteilung berechnet: Der Tabellenwert ist das größte $w$ mit $P(W^+ \leq w)$ höchstens α (einseitig) bzw. $\frac{\alpha}{2}$ (zweiseitig).

Nullen und gleiche Beträge

• Differenz 0: Ein Paar ohne Veränderung sagt nichts über die Richtung. Es wird weggelassen, und $n$ wird um 1 kleiner (Vorgehen nach Wilcoxon).
• Gleiche Beträge (Bindungen): Haben zum Beispiel zwei Differenzen den Betrag 4 und belegen die Plätze 5 und 6, bekommen beide Rang $5{,}5$ – egal, ob die Differenzen $+4$ oder $-4$ sind. Die exakte Tabelle gilt dann nicht mehr genau; man rechnet mit der Normalnäherung und verkleinert die Streuung.

Normalnäherung für größere n

Ein-Stichproben-Variante: Test für den Median

Statt zweier Messreihen kann man auch prüfen, ob die Werte einer einzigen Stichprobe um einen vermuteten Median $m_0$ liegen. Man rechnet genauso, nur mit $d_i = x_i - m_0$. Beispiel: Liegt die Zeit für den Schulweg im Mittel (Median) bei 20 Minuten? Der Wilcoxon-Rechner hat dafür einen eigenen Modus.

Wilcoxon-Test, Vorzeichentest oder gepaarter t-Test?

Der Vorzeichentest zählt nur, wie viele Differenzen positiv sind, und prüft das mit der Binomialverteilung ($p = 0{,}5$). Im Beispiel wären das 6 von 8 – zu wenig für eine Ablehnung, weil die Größe der Veränderungen nicht zählt. Der gepaarte t-Test wäre hier ebenfalls möglich. Für zwei unabhängige Gruppen gibt es das Gegenstück, den Mann-Whitney-U-Test.

Eigene Daten mit Tabelle und exaktem p-Wert rechnet der Wilcoxon-Rechner.

Übungsaufgaben

Stufe 1: W⁺ und W⁻ aus Differenzen, Stufe 2: kompletter Test mit kleinen Stichproben, Stufe 3: Normalnäherung.

Weiterlesen: Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test, Nichtparametrische Statistik bei Wikipedia

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