Rangkorrelation nach Spearman und Kendall
Der Korrelationskoeffizient nach Pearson misst, wie gut eine Gerade zu den Punkten passt. Oft interessiert aber nur: Gehört zu einem größeren x-Wert meistens auch ein größerer y-Wert? Oder es gibt gar keine Messwerte, sondern nur Platzierungen. Dann nimmt man eine Rangkorrelation: Spearmans $r_s$ oder Kendalls $\tau$. Beide messen monotone Zusammenhänge und sind unempfindlich gegen Ausreißer.
Spearmans Rangkorrelationskoeffizient
Man ersetzt die x-Werte und die y-Werte getrennt durch ihre Ränge und berechnet für jedes Paar die Rangdifferenz $d_i$. Stimmen die Rangfolgen genau überein, sind alle $d_i = 0$.
Merke: Spearman ohne gleiche Werte
$r_s = 1$: gleiche Rangfolge, $r_s = -1$: genau umgekehrte Rangfolge, $r_s \approx 0$: kein monotoner Zusammenhang. Gibt es gleiche Werte (Durchschnittsränge), berechnet man $r_s$ genauer als Pearson-Korrelation der Ränge; die Kurzformel ist dann nur eine Näherung.
Sind sich zwei Jurys einig?
Beim Backwettbewerb platzieren zwei Jurys dieselben sieben Kuchen A bis G:
| Kuchen | A | B | C | D | E | F | G |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jury 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Jury 2 | 2 | 1 | 4 | 3 | 7 | 5 | 6 |
| d | −1 | +1 | −1 | +1 | −2 | +1 | +1 |
| d² | 1 | 1 | 1 | 1 | 4 | 1 | 1 |
$\sum d_i^2 = 10$ und damit $r_s = 1 - \frac{6 \cdot 10}{7 \cdot 48} = 1 - \frac{60}{336} \approx 0{,}821$ – die Jurys sind sich weitgehend einig. Nur bei Kuchen E gehen die Meinungen um zwei Plätze auseinander.
Kendalls Tau
Kendall schaut auf Paare von Objekten: Zwei Kuchen sind konkordant, wenn beide Jurys sie in derselben Reihenfolge sehen, und diskordant, wenn die Jurys sie vertauschen. Bei $n$ Objekten gibt es $\binom{n}{2}$ Paare.
Merke: Kendall ohne gleiche Werte
$n_c$ = Anzahl konkordanter, $n_d$ = Anzahl diskordanter Paare. Auch $\tau$ liegt zwischen −1 und 1. Bei gleichen Werten nimmt man $\tau_b$, das Paare mit Gleichstand im Nenner herausrechnet.
Im Beispiel sind von den 21 Paaren 4 vertauscht (A–B, C–D, E–F, E–G), also $n_c = 17$, $n_d = 4$ und $\tau = \frac{17 - 4}{21} \approx 0{,}619$. Kendalls $\tau$ ist fast immer kleiner als $r_s$, lässt sich aber anschaulicher deuten: Zieht man zwei Kuchen zufällig, stimmen die Jurys mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1 + \tau}{2} \approx 0{,}81$ in der Reihenfolge überein.
Ist der Zusammenhang signifikant?
Getestet wird $H_0\!: \rho_s = 0$ (kein monotoner Zusammenhang). Bei kleinem $n$ ohne gleiche Werte lassen sich alle $n!$ Anordnungen der Ränge abzählen: Für die Kuchen ist $P(r_s \geq 0{,}821) \approx 0{,}017$, rechtsseitig wird $H_0$ bei α = 5 % also abgelehnt. Mit Kendall ergibt sich $p \approx 0{,}035$. Für größere $n$ benutzt man
Kritische Werte für r_s (zweiseitig)
$H_0$ wird abgelehnt, wenn $|r_s|$ mindestens so groß ist wie der Tabellenwert. Bis $n = 8$ sind die Werte exakt abgezählt, darüber über die t-Verteilung genähert.
| n | α = 5 % | α = 1 % | berechnet |
|---|---|---|---|
| 5 | 0,950 | – | exakt |
| 6 | 0,857 | 0,971 | exakt |
| 7 | 0,768 | 0,911 | exakt |
| 8 | 0,726 | 0,869 | exakt |
| 9 | 0,666 | 0,798 | Näherung über t |
| 10 | 0,632 | 0,765 | Näherung über t |
| 11 | 0,602 | 0,735 | Näherung über t |
| 12 | 0,576 | 0,708 | Näherung über t |
| 14 | 0,532 | 0,661 | Näherung über t |
| 16 | 0,497 | 0,623 | Näherung über t |
| 18 | 0,468 | 0,590 | Näherung über t |
| 20 | 0,444 | 0,561 | Näherung über t |
| 25 | 0,396 | 0,505 | Näherung über t |
| 30 | 0,361 | 0,463 | Näherung über t |
| 40 | 0,312 | 0,403 | Näherung über t |
| 50 | 0,279 | 0,361 | Näherung über t |
Rangkorrelation oder Pearson?
Monoton, aber nicht linear
Übungszeit in Stunden und erreichte Punkte: (1|20); (2|38); (3|50); (4|58); (6|66); (8|70); (10|72); (12|73). Mit jeder Stunde gibt es mehr Punkte, aber der Zuwachs wird immer kleiner. Die Rangfolgen stimmen perfekt überein: $r_s = 1$. Der Pearson-Koeffizient ist dagegen nur $r \approx 0{,}879$, weil die Punkte auf einer Kurve und nicht auf einer Geraden liegen.
- Pearson (Regression und Korrelation): linearer Zusammenhang, Messwerte, empfindlich gegen Ausreißer.
- Spearman: monotoner Zusammenhang, auch für Platzierungen und Noten; entspricht Pearson auf den Rängen.
- Kendall: ebenfalls monoton, anschaulich über Paare, bei vielen gleichen Werten und kleinen Stichproben oft bevorzugt.
Wie bei jeder Korrelation gilt: Ein Zusammenhang ist noch keine Ursache. Eigene Wertepaare mit Rangtabelle und Streudiagramm der Ränge rechnet der Rangkorrelations-Rechner.
Übungsaufgaben
Stufe 1: r_s aus Σd², Stufe 2: r_s aus Wertepaaren, Stufe 3: Signifikanz mit dem t-Test.
Stufe 1: r_s aus Σd²
-
Aufgabe 1
\(n = 14,\ \sum d_i^2 = 826\text{. } r_s\text{?}\)\(r_s \approx\)\(r_s = 1 - \tfrac{6 \cdot 826}{14 \cdot (14^2 - 1)}\) \(= 1 - \tfrac{4956}{2730}\) \(\approx -0{,}815\)
-
Aufgabe 2
\(n = 15,\ \sum d_i^2 = 858\text{. } r_s\text{?}\)\(r_s \approx\)\(r_s = 1 - \tfrac{6 \cdot 858}{15 \cdot (15^2 - 1)}\) \(= 1 - \tfrac{5148}{3360}\) \(\approx -0{,}532\)
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Aufgabe 3
\(n = 8,\ \sum d_i^2 = 168\text{. } r_s\text{?}\)\(r_s \approx\)\(r_s = 1 - \tfrac{6 \cdot 168}{8 \cdot (8^2 - 1)}\) \(= 1 - \tfrac{1008}{504}\) \(= -1\)
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Aufgabe 4
\(n = 7,\ \sum d_i^2 = 102\text{. } r_s\text{?}\)\(r_s \approx\)\(r_s = 1 - \tfrac{6 \cdot 102}{7 \cdot (7^2 - 1)}\) \(= 1 - \tfrac{612}{336}\) \(\approx -0{,}821\)
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Aufgabe 5
\(n = 8,\ \sum d_i^2 = 142\text{. } r_s\text{?}\)\(r_s \approx\)\(r_s = 1 - \tfrac{6 \cdot 142}{8 \cdot (8^2 - 1)}\) \(= 1 - \tfrac{852}{504}\) \(\approx -0{,}69\)
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Aufgabe 6
\(n = 12,\ \sum d_i^2 = 472\text{. } r_s\text{?}\)\(r_s \approx\)\(r_s = 1 - \tfrac{6 \cdot 472}{12 \cdot (12^2 - 1)}\) \(= 1 - \tfrac{2832}{1716}\) \(\approx -0{,}65\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Rangkorrelation nach Spearman
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Weiterlesen: Rangkorrelationskoeffizient, Kendalls Tau bei Wikipedia