Ebenenschar-Rechner
Gib eine Ebenengleichung mit einem Parameter ein, zum Beispiel $(2 + a)\,x_1 - x_2 + a\,x_3 = 5$, und wähle die Bedingung. Der Rechner stellt die Gleichung für den Parameter auf, löst sie exakt mit Brüchen und zeigt jeden Schritt.
So rechnet der Rechner
Steht der Parameter $a$ in der Gleichung, hängt auch der Normalenvektor $\vec{n}_a$ und die rechte Seite $c_a$ von $a$ ab. Jede Bedingung wird mit den bekannten Werkzeugen angesetzt – heraus kommt eine Gleichung für $a$:
| Bedingung | Ansatz |
|---|---|
| P liegt in $E_a$ | P einsetzen: $\vec{n}_a \cdot \vec{p} = c_a$ |
| $E_a$ parallel zu g | $\vec{n}_a \cdot \vec{u} = 0$; liegt der Stützpunkt in der Ebene, liegt g sogar ganz in ihr |
| $E_a$ senkrecht zu g | $\vec{n}_a$ ist ein Vielfaches von $\vec{u}$: $\vec{n}_a \times \vec{u} = \vec{0}$ (drei Gleichungen, eine gemeinsame Lösung) |
| $E_a$ parallel zu F | $\vec{n}_a \times \vec{n}_F = \vec{0}$; ein Punkt von F zeigt, ob die Ebenen sogar gleich sind |
| $E_a$ senkrecht zu F | $\vec{n}_a \cdot \vec{n}_F = 0$ |
| Abstand d von P | $\left(\vec{n}_a \cdot \vec{p} - c_a\right)^2 = d^2 \cdot |\vec{n}_a|^2$ – meist quadratisch, also oft zwei Lösungen |
| Trägergerade | Nach $a$ ordnen: $(\vec{n}_0 \cdot \vec{x} - c_0) + a\,(\vec{n}_1 \cdot \vec{x} - c_1) = 0$; Schnittgerade der Ebenen $E_0$ und $E^*$ |
Zwei Sonderfälle zeigt der Rechner ausdrücklich an: Gilt eine Bedingung für jedes $a$, erfüllt die ganze Schar sie. Und ein Wert von $a$, für den der Normalenvektor zum Nullvektor wird, liefert gar keine Ebene – er zählt nicht als Lösung.
Erklärungen mit Beispielen und einen Schieberegler zum Drehen der Ebenen findest Du auf der Seite Ebenenscharen und Geradenscharen. Abstände und Winkel ohne Parameter berechnet der Rechner für analytische Geometrie.
Selbst üben
Stufe 1: parallel und senkrecht über den Normalenvektor. Stufe 2: Ebene senkrecht zu einer Ebene, Gerade in der Ebene. Stufe 3: Abstand eines Punktes zu einer Schar paralleler Ebenen.
Stufe 1: parallel und senkrecht
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Aufgabe 1
\(E_a:\ (a - 1)\,x_1 - 2a\,x_2\) \(= a - 4,\) \(F:\ -2x_1 + 2x_2\) \(= -9.\) Für welches a ist \(E_a \parallel F?\)\(a =\)\(\vec{n}_a \times \vec{n}_F\) \(= \vec{0}\) \(\Rightarrow\ a = -1:\ \vec{n}_{-1}\) \(= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist ein Vielfaches von \(\vec{n}_F\)
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Aufgabe 2
\(E_a:\ (2a + 8)\,x_1 - (a + 2)\,x_2 + (a + 4)\,x_3\) \(= 3,\) \(g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.\) Für welches a ist \(E_a \perp g?\)\(a =\)\(\vec{n}_a \parallel \vec{u}\) \(\Leftrightarrow\ \vec{n}_a \times \vec{u}\) \(= \vec{0}\) \(\Rightarrow\ a = -2,\) \(\vec{n}_{-2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\)
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Aufgabe 3
\(E_a:\ -x_1 - (a - 1)\,x_2 - (2a - 6)\,x_3\) \(= 2a + 3,\) \(F:\ x_1 + x_2 - 2x_3\) \(= 7.\) Für welches a ist \(E_a \parallel F?\)\(a =\)\(\vec{n}_a \times \vec{n}_F\) \(= \vec{0}\) \(\Rightarrow\ a = 2:\ \vec{n}_{2}\) \(= \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist ein Vielfaches von \(\vec{n}_F\)
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Aufgabe 4
\(E_a:\ (a + 4)\,x_1 + (a + 2)\,x_2 - (2a + 4)\,x_3\) \(= a + 5,\) \(F:\ 2x_1 = 8.\) Für welches a ist \(E_a \parallel F?\)\(a =\)\(\vec{n}_a \times \vec{n}_F\) \(= \vec{0}\) \(\Rightarrow\ a = -2:\ \vec{n}_{-2}\) \(= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist ein Vielfaches von \(\vec{n}_F\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Ebenenscharen: parallel, senkrecht, Abstand
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Weiterlesen: Ebenenbüschel, Hessesche Normalform bei Wikipedia