Ableitungsrechner mit Rechenweg
Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.
Ergebnis
Die Ableitung von $f(x) = -\frac{2160}{\left(x - 1\right)^{7}}$ ist:
✓ Ergebnis mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft
Bedingung: $\left(x - 1\right)^{7}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Rechenweg
grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist
Ableitung eines negativen Terms Ableiten
\[\frac{d}{dx}(-u) = -u'\]Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.
Hier ist $u = \frac{2160}{\left(x - 1\right)^{7}}$.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left[\frac{2160}{\left(x - 1\right)^{7}}\right]}\,}}}\]Kehrwert als negative Potenz schreiben Umschreiben
\[\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}\]Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.
\[\frac{d}{dx}{\left[\frac{2160}{\left(x - 1\right)^{7}}\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[2160\,\left(x - 1\right)^{-7}\right]}\]\[= -\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2160\,\left(x - 1\right)^{-7}\right]}\,}}}\]Faktorregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'\]Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Hier ist $c = 2160,\quad u = \left(x - 1\right)^{-7}$.
\[\frac{d}{dx}{\left[2160\,\left(x - 1\right)^{-7}\right]} \;\Rightarrow\; 2160\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x - 1\right)^{-7}\right]}\]\[= -\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2160\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x - 1\right)^{-7}\right]}\,}}}\]Potenzregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'\]Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.
Hier ist $u = x - 1,\quad c = -7$.
\[\frac{d}{dx}{\left[\left(x - 1\right)^{-7}\right]} \;\Rightarrow\; -7\,\left(x - 1\right)^{-7 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\]\[= -2160\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-7\,\left(x - 1\right)^{-7 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\right)\,}}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[-7 - 1 \;\Rightarrow\; -8\]\[= -2160\,\left(-7\,\left(x - 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-8\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]}\right)\]Summen-/Differenzenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots\]Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Hier ist $u = x,\quad v = 1$.
\[\frac{d}{dx}{\left[x - 1\right]} \;\Rightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\]\[= -2160\,\left(-7\,\left(x - 1\right)^{-8}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\right)\]Ableitung der Variablen Ableiten
\[\frac{d}{dx}(x)=1\]Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
\[\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Rightarrow\; 1\]\[= -2160\,\left(-7\,\left(x - 1\right)^{-8}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\right)\]Konstantenregel Ableiten
\[\frac{d}{dx}(c)=0\]Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Hier ist $c = 1$.
\[\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Rightarrow\; 0\]\[= -2160\,\left(-7\,\left(x - 1\right)^{-8}\,\left(1 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\right)\]Null als Summand entfernen Vereinfachen
Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
\[1 - 0 \;\Rightarrow\; 1\]\[= -2160\,\left(-7\,\left(x - 1\right)^{-8} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\]Faktor 1 entfernen Vereinfachen
Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
\[-7\,\left(x - 1\right)^{-8} \cdot 1 \;\Rightarrow\; -7\,\left(x - 1\right)^{-8}\]\[= -2160\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-7\,\left(x - 1\right)^{-8}\right)\,}}}\]Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachen
Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2160 \cdot 7\,\left(x - 1\right)^{-8}\,}}}\]Zahlen ausrechnen Vereinfachen
Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
\[2160 \cdot 7 \;\Rightarrow\; 15120\]\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,15120\,}}}\,\left(x - 1\right)^{-8}\]Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachen
Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.
\[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{15120}{\left(x - 1\right)^{8}}\,}}}\]
So benutzt Du den Ableitungsrechner
- Potenzen mit
^:x^3, Wurzeln mitsqrt(…)oder als Potenzx^(1/2). - Malpunkte darfst Du weglassen:
3x^2,2sin(x),x e^x. - Funktionen:
sin,cos,tan,e^xbzw.exp(x),ln,log,sqrt,abs– das Argument immer in Klammern. - Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
- Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.
Welche Regeln verwendet der Rechner?
Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).
Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.