Gitterwege und Zahlenschloss
Wie viele Wege führen durch ein Straßengitter? Wie viele Codes kann ein Fahrradschloss haben? Solche Fragen kannst Du lösen, ohne jede Möglichkeit aufzuschreiben – mit zwei Zähl-Tricks, die Du hier kennenlernst.
Kürzeste Wege im Gitter
Stell Dir ein Straßengitter vor. Du startest an der Ecke A und willst zur Ecke B. Du gehst nur auf den Linien und immer nach rechts oder nach oben – dann ist jeder Weg ein kürzester Weg. Im Gitter mit 2 × 2 Kästchen musst Du zweimal nach rechts (→) und zweimal nach oben (↑). Es gibt 6 verschiedene Reihenfolgen:
→ → ↑ ↑ · → ↑ → ↑ · → ↑ ↑ → · ↑ → → ↑ · ↑ → ↑ → · ↑ ↑ → →
Der Zahlen-Trick an den Kreuzungen
Bei größeren Gittern wird das Aufschreiben mühsam. Schneller geht es so:
- An alle Kreuzungen am unteren Rand und am linken Rand schreibst Du eine 1 – dorthin führt jeweils nur ein Weg.
- An jede andere Kreuzung kommst Du entweder von links oder von unten. Darum addierst Du die beiden Zahlen links und unten.
- Die Zahl an B ist die Zahl aller kürzesten Wege.
Baustelle und Zwischenziel
Ist eine Kreuzung gesperrt, schreibst Du dort eine 0 hin und rechnest wie gewohnt weiter. Im Bild führen dann nur noch 4 Wege nach B.
Musst Du an einer Kreuzung P vorbei, zählst Du in zwei Teilen: Von A nach P gibt es im rechten Bild 3 Wege, von P nach B 3 Wege. Jeder Weg bis P passt zu jedem Weg ab P – darum multiplizierst Du: $3 \cdot 3 = 9$ Wege.
Zahlenschloss und PIN
Ein Fahrradschloss hat Rädchen mit den Ziffern 0 bis 9. Für jedes Rädchen gibt es also 10 Möglichkeiten. Weil jede Einstellung des ersten Rädchens mit jeder Einstellung des zweiten kombiniert werden kann, wird multipliziert:
| Rädchen | Rechnung | Codes |
|---|---|---|
| 1 | 10 | 10 |
| 2 | 10 · 10 | 100 |
| 3 | 10 · 10 · 10 | 1000 |
| 4 | 10 · 10 · 10 · 10 | 10 000 |
Merke: das Zählprinzip
Zeichne für jede Stelle ein Kästchen und schreib hinein, wie viele Möglichkeiten es dort gibt. Dann multiplizierst Du alle Zahlen.
Wenn sich keine Ziffer wiederholen darf
Eine PIN mit 4 Ziffern soll lauter verschiedene Ziffern haben. Für die erste Stelle gibt es 10 Ziffern, für die zweite nur noch 9, dann 8 und zuletzt 7:
$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ PINs.
Weißt Du schon, dass die PIN mit 4 beginnt (Wiederholungen erlaubt), sind nur noch drei Stellen frei: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
Typische Fehler
- Addiert statt multipliziert: Zwei Rädchen mit 0 bis 9 ergeben nicht 10 + 10 = 20, sondern 10 · 10 = 100 Codes (von 00 bis 99).
- Die 0 vergessen: Die Ziffern 0 bis 9 sind 10 Ziffern, nicht 9.
- Beim Gitter Striche gezählt: Wichtig sind die Kästchen: Bei 3 Kästchen nach rechts gehst Du dreimal nach rechts.
Online üben: Gitterwege
Stufe 1: kleine Gitter
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Aufgabe 1
Wie viele kürzeste Wege führen von A nach B?
WegeSchreibe an jede Kreuzung, auf wie vielen Wegen Du dorthin kommst: An jeder Kreuzung addierst Du die Zahl von links und die Zahl von unten. An B steht 4. -
Aufgabe 2
Wie viele kürzeste Wege führen von A nach B?
WegeSchreibe an jede Kreuzung, auf wie vielen Wegen Du dorthin kommst: An jeder Kreuzung addierst Du die Zahl von links und die Zahl von unten. An B steht 3. -
Aufgabe 3
Wie viele kürzeste Wege führen von A nach B?
WegeSchreibe an jede Kreuzung, auf wie vielen Wegen Du dorthin kommst: An jeder Kreuzung addierst Du die Zahl von links und die Zahl von unten. An B steht 4. -
Aufgabe 4
Wie viele kürzeste Wege führen von A nach B?
WegeSchreibe an jede Kreuzung, auf wie vielen Wegen Du dorthin kommst: An jeder Kreuzung addierst Du die Zahl von links und die Zahl von unten. An B steht 5.
Gib die Anzahl der Wege als Zahl ein. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Gitterwege zählen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 3–6.
Online üben: Zahlenschloss und PIN
Stufe 1: Rädchen und Ziffern
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Aufgabe 1
Ein Spielzeugschloss hat 2 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 3. Wie viele verschiedene Codes gibt es?CodesJedes Rädchen hat 3 Möglichkeiten: 3 · 3 = 9 Codes.
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Aufgabe 2
Ein Spielzeugschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 3. Wie viele verschiedene Codes gibt es?CodesJedes Rädchen hat 3 Möglichkeiten: 3 · 3 · 3 = 27 Codes.
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Aufgabe 3
Ein Fahrradschloss hat 4 Rädchen mit den Ziffern 0 bis 9. Wie viele verschiedene Zahlencodes kannst Du einstellen?CodesFür jedes Rädchen gibt es 10 Möglichkeiten: 10 · 10 · 10 · 10 = 10000 Codes.
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Aufgabe 4
Wie viele zweistellige Zahlen kannst Du aus den Ziffern 1 und 8 bilden, wenn jede Ziffer mehrmals vorkommen darf?ZahlenFür jede Stelle gibt es 2 Möglichkeiten: 2 · 2 = 4 Zahlen.
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Aufgabe 5
Ein Fahrradschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 0 bis 9. Wie viele verschiedene Zahlencodes kannst Du einstellen?CodesFür jedes Rädchen gibt es 10 Möglichkeiten: 10 · 10 · 10 = 1000 Codes.
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Aufgabe 6
Wie viele dreistellige Zahlen kannst Du aus den Ziffern 2, 6 und 7 bilden, wenn jede Ziffer mehrmals vorkommen darf?ZahlenFür jede Stelle gibt es 3 Möglichkeiten: 3 · 3 · 3 = 27 Zahlen.
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Zahlenschloss und PIN
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 3–6.
Weitere Zählaufgaben mit Kleidung, Sitzordnungen und Eisbechern findest Du bei der Kombinatorik für Kinder. Ab Klasse 10 geht es weiter mit dem Urnenmodell und der Kombinatorik, wo Du auch den Binomialkoeffizienten kennenlernst – er steckt hinter den Zahlen im Gitter.
Weiterlesen: Kombinatorik, Pascalsches Dreieck bei Wikipedia