Vielfachheit von Nullstellen
Nicht jede Nullstelle sieht im Graphen gleich aus: Mal schneidet der Graph die x-Achse, mal berührt er sie nur, mal läuft er mit einem flachen Sattel hindurch. Was dahintersteckt, verrät die Vielfachheit der Nullstelle – und mit ihr kannst Du den Graphen einer ganzrationalen Funktion skizzieren, ohne eine Wertetabelle anzulegen.
Linearfaktoren und Vielfachheit
Viele ganzrationale Funktionen lassen sich als Produkt von Linearfaktoren $(x - x_0)$ schreiben. Kommt ein Linearfaktor genau $k$-mal vor, also als $(x - x_0)^k$, dann heißt $x_0$ eine $k$-fache Nullstelle; $k$ ist ihre Vielfachheit.
Beispiel
$f(x) = 2(x + 2)(x - 1)^2(x - 3)^3$ hat die Nullstellen
- $x = -2$: einfach (Vielfachheit 1),
- $x = 1$: doppelt (Vielfachheit 2),
- $x = 3$: dreifach (Vielfachheit 3).
Die Vielfachheiten addieren sich zum Grad: $1 + 2 + 3 = 6$. Ausmultipliziert beginnt $f(x)$ also mit $2x^6$.
Schneiden, berühren, Sattelpunkt
| Vielfachheit | Verhalten des Graphen | Vorzeichenwechsel? | Ableitung an der Stelle |
|---|---|---|---|
| 1 (einfach) | schneidet die x-Achse schräg | ja | $f'(x_0) \neq 0$ |
| 2, 4, … (gerade) | berührt die x-Achse – dort liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt | nein | $f'(x_0) = 0$ |
| 3, 5, … (ungerade, ab 3) | schneidet die x-Achse waagerecht – Sattelpunkt | ja | $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) = 0$ |
Warum ist das so? In der Nähe von $x_0$ verhalten sich alle anderen Faktoren fast wie Konstanten. Übrig bleibt im Wesentlichen $(x - x_0)^k$ – und eine gerade Potenz ist auf beiden Seiten positiv, eine ungerade wechselt das Vorzeichen. Je höher $k$, desto flacher schmiegt sich der Graph an die Achse.
Baukasten: Linearfaktoren und Vielfachheit
| Nullstelle | Vielfachheit | Graph | Vorzeichenwechsel |
|---|
Vielfachheit erkennen, wenn $f$ ausmultipliziert ist
Steht $f$ nicht als Produkt da, helfen diese Wege:
- Ausklammern: $x^5 - 2x^4 + x^3 = x^3(x^2 - 2x + 1) = x^3(x - 1)^2$. Also ist 0 dreifach und 1 doppelt.
- Binomische Formeln erkennen: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
- Polynomdivision bzw. Horner-Schema durch $(x - x_0)$ – so oft, wie es ohne Rest geht.
- Ableitungen prüfen: Ist $f(x_0) = 0$ und auch $f'(x_0) = 0$, dann ist $x_0$ mindestens doppelt.
Beispiel: $f(x) = x^3 - 3x + 2$
$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ und $f'(x) = 3x^2 - 3$, also $f'(1) = 0$. Damit ist $x = 1$ mindestens doppelt. Polynomdivision durch $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ liefert $x + 2$:
$f(x) = (x - 1)^2(x + 2)$ – doppelte Nullstelle bei 1 (Tiefpunkt auf der x-Achse) und einfache bei $-2$.
Graph skizzieren mit der Vorzeichentabelle
Mit Nullstellen, Vielfachheiten und dem Verhalten ganz rechts kennst Du das Vorzeichen von $f$ überall:
- Nullstellen der Größe nach auf eine Zahlengerade schreiben.
- Ganz rechts hat $f$ das Vorzeichen des Leitkoeffizienten (der Zahl vor der höchsten Potenz).
- Von rechts nach links: An einer Nullstelle mit ungerader Vielfachheit wechselt das Vorzeichen, an einer mit gerader nicht.
Beispiel: $f(x) = -(x + 1)^2(x - 2)$
Leitkoeffizient $-1$: Für $x > 2$ ist $f$ negativ. Bei $x = 2$ (einfach) wechselt das Vorzeichen – zwischen $-1$ und $2$ ist $f$ positiv. Bei $x = -1$ (doppelt) bleibt es positiv, auch für $x < -1$.
Probe: $f(-2) = -1 \cdot (-4) = 4$, $f(0) = -1 \cdot (-2) = 2$ und $f(3) = -16 \cdot 1 = -16$. Also gilt $f(x) > 0$ für $x \in\ ]-\infty;\,-1[\ \cup\ ]-1;\,2[$.
Tipp
So löst Du auch Ungleichungen wie $f(x) \ge 0$ ohne Rechnung – nur die Nullstellen selbst musst Du je nach Zeichen dazunehmen oder nicht. Mehr dazu bei den Ungleichungen höheren Grades.
Online üben
Nullstellen gibst Du mit Semikolon getrennt ein, zum Beispiel -2; 1. Gibt es keine, schreib keine. Bereiche als Intervall, zum Beispiel ]-2; 1[ oder x < -2 oder x > 1.
Stufe 1: Nullstellen und Vielfachheit
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Aufgabe 1
\(f(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3):\) Vielfachheit der Nullstelle \(3\ ?\)\((x - 3)^{1}\ \Rightarrow\ 1\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = 2x^{3}(x - 3)^{2}:\) Wo berührt der Graph die x-Achse?\(x =\)\(0\ (3\text{-fach}),\ 3\ (2\text{-fach})\ \Rightarrow\ \{3\}\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = -(x + 4)(x - 1)^{3}(x - 3)^{2}:\) Nullstellen?\(x =\)\(x = -4;\ 1;\ 3\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = (x + 4)^{2}(x - 4):\) Nullstellen?\(x =\)\(x = -4;\ 4\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = \frac{1}{2}\,(x + 3)^{3}(x + 1)(x - 1)^{2}:\) Nullstellen?\(x =\)\(x = -3;\ -1;\ 1\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Vielfachheit von Nullstellen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Nullstellen berechnen: Nullstellen und Nullstellenrechner (zeigt auch die Vielfachheit). Den ganzen Funktionsverlauf untersucht die Kurvendiskussion, Grundlagen findest Du bei den ganzrationalen Funktionen.
Weiterlesen: Nullstelle, Ganzrationale Funktion bei Wikipedia