Dreifachintegrale
Mit einem Dreifachintegral $\iiint_K f(x, y, z)\,\mathrm{d}V$ summiert man eine Größe über einen Körper $K$ im Raum: mit $f = 1$ sein Volumen, mit einer Dichte $\rho$ seine Masse, mit $x\rho$, $y\rho$, $z\rho$ seinen Schwerpunkt. Gerechnet wird wie beim Doppelintegral – nur mit drei ineinander geschachtelten Integralen.
Kartesische Koordinaten: Grenzen von innen nach außen
Normalbereich im Raum
Liegt $K$ über $a \le x \le b$, zwischen $y = g_1(x)$ und $y = g_2(x)$ und zwischen den Flächen $z = h_1(x, y)$ (unten) und $z = h_2(x, y)$ (oben), dann ist
$$\iiint_K f\,\mathrm{d}V = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x, y)}^{h_2(x, y)} f(x, y, z)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.$$
Innen dürfen die Grenzen von allen äußeren Variablen abhängen, außen stehen nur Zahlen.
Beispiel 1: Volumen eines Tetraeders
Der Körper $x, y, z \ge 0$, $x + y + z \le 1$ ist das Tetraeder mit den Ecken $(0|0|0)$, $(1|0|0)$, $(0|1|0)$, $(0|0|1)$. Die Grenzen: $0 \le z \le 1 - x - y$, dann $0 \le y \le 1 - x$, außen $0 \le x \le 1$.
$$V = \int_0^1 \int_0^{1-x} (1 - x - y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{(1 - x)^2}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}.$$
Das passt zur Formel „Grundfläche mal Höhe durch 3“: $\frac12 \cdot 1 \cdot \frac13$.
Zylinderkoordinaten
Für Körper mit einer Drehachse (Zylinder, Kegel, Paraboloid) nimmt man Zylinderkoordinaten: $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$, $z = z$. Das Volumenelement ist
$$\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.$$
Der Faktor $r$ ist derselbe wie bei Polarkoordinaten in der Ebene – die Jacobi-Determinante der Umrechnung.
Beispiel 2: Volumen unter dem Paraboloid z = 4 − x² − y²
Mit $x^2 + y^2 = r^2$ liegt der Körper zwischen $z = 0$ und $z = 4 - r^2$ über $0 \le r \le 2$, $0 \le \varphi \le 2\pi$:
$$V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4 - r^2} r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \int_0^2 (4r - r^3)\,\mathrm{d}r = 2\pi\,(8 - 4) = 8\pi.$$
Das ist genau die Hälfte des umschließenden Zylinders ($\pi \cdot 2^2 \cdot 4 = 16\pi$).
Kugelkoordinaten
Für Kugeln und Kugelteile nimmt man Kugelkoordinaten: Abstand $r$ vom Ursprung, Winkel $\vartheta$ von der positiven z-Achse ($0 \le \vartheta \le \pi$) und Winkel $\varphi$ in der xy-Ebene:
$$x = r\sin\vartheta\cos\varphi,\quad y = r\sin\vartheta\sin\varphi,\quad z = r\cos\vartheta,\qquad \mathrm{d}V = r^2\sin\vartheta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\vartheta\,\mathrm{d}\varphi.$$
Beispiel 3: Kugelvolumen und ein Integral über die Kugel
Kugel mit Radius $R$: $V = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^R r^2\sin\vartheta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\vartheta\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac43\pi R^3$.
Über der Einheitskugel ist $\iiint (x^2 + y^2 + z^2)\,\mathrm{d}V = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 r^2 \cdot r^2\sin\vartheta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\vartheta\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac15 = \frac{4\pi}{5}$.
Masse und Schwerpunkt
Hat der Körper die Dichte $\rho(x, y, z)$, ist seine Masse $m = \iiint_K \rho\,\mathrm{d}V$ und sein Schwerpunkt
$$x_S = \frac{1}{m}\iiint_K x\,\rho\,\mathrm{d}V,\quad y_S = \frac{1}{m}\iiint_K y\,\rho\,\mathrm{d}V,\quad z_S = \frac{1}{m}\iiint_K z\,\rho\,\mathrm{d}V.$$
Beispiel 4: Schwerpunkt einer Halbkugel
Homogene Halbkugel $0 \le r \le R$, $0 \le \vartheta \le \frac{\pi}{2}$: Aus Symmetriegründen ist $x_S = y_S = 0$. Mit $z = r\cos\vartheta$:
$$\iiint z\,\mathrm{d}V = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^R r^3 \cos\vartheta\sin\vartheta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\vartheta\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \cdot \frac12 \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{4}.$$
Geteilt durch das Volumen $\frac23\pi R^3$: $z_S = \frac{3R}{8}$. Für $R = 2$ also $z_S = \frac34$.
Rechner für Dreifachintegrale
Typische Fehler
- Volumenelement vergessen: In Zylinderkoordinaten fehlt sonst $r$, in Kugelkoordinaten $r^2\sin\vartheta$.
- ϑ und φ vertauscht: $\vartheta$ läuft von $0$ bis $\pi$ (Nordpol bis Südpol), $\varphi$ von $0$ bis $2\pi$ (einmal herum).
- Grenzen in falscher Reihenfolge: Grenzen mit Variablen gehören nach innen. Außen stehen Zahlen.
- Symmetrie nicht genutzt: Bei einem rotationssymmetrischen Körper um die z-Achse sind $x_S = y_S = 0$ – das spart zwei Integrale.
Online üben: Dreifachintegrale
Stufe 1: Quader
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Aufgabe 1
\(\int_0^{1}\int_0^{2}\int_0^{1} 6z^{2}\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(6\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{3} = 4\)
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Aufgabe 2
\(\int_0^{3}\int_0^{3}\int_0^{2} 2x^{2}\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(2\cdot\frac{27}{3}\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{2}{1} = 108\)
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Aufgabe 3
\(\int_0^{2}\int_0^{3}\int_0^{2} 5xy^{2}\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(5\cdot\frac{4}{2}\cdot\frac{27}{3}\cdot\frac{2}{1} = 180\)
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Aufgabe 4
\(\int_0^{3}\int_0^{3}\int_0^{1} 3y^{2}z\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(3\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{27}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{81}{2}\)
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Aufgabe 5
\(\int_0^{1}\int_0^{3}\int_0^{2} z\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(1\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{4}{2} = 6\)
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Aufgabe 6
\(\int_0^{2}\int_0^{3}\int_0^{3} xyz\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(1\cdot\frac{4}{2}\cdot\frac{9}{2}\cdot\frac{9}{2} = \frac{81}{2}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Dreifachintegrale
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Bereiche in der Ebene rechnet der Doppelintegral-Rechner; die Jacobi-Determinante hinter $r$ und $r^2\sin\vartheta$ erklärt die Seite Jacobi-Matrix, Kettenregel und Taylor. Rotationskörper mit der Schulformel findest Du unter Rotationskörper.
Weiterlesen: Kugelkoordinaten, Zylinderkoordinaten, Schwerpunkt bei Wikipedia