Definitheit von Matrizen
Ob eine Funktion mehrerer Variablen im kritischen Punkt ein Minimum, ein Maximum oder einen Sattel hat, entscheidet die Definitheit ihrer Hesse-Matrix. Dahinter steckt eine einfache Frage: Ist der Ausdruck $\vec v^{\mathsf T} A\,\vec v$ für alle Vektoren $\vec v \ne \vec 0$ positiv, negativ – oder mal so, mal so?
Quadratische Form und Definitheit
Zu einer symmetrischen $n \times n$-Matrix $A$ gehört die quadratische Form $q(\vec v) = \vec v^{\mathsf T} A\,\vec v$. Für $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ ist $q(x, y) = a x^2 + 2b\,xy + c\,y^2$.
| A heißt … | wenn für alle $\vec v \ne \vec 0$ gilt | Eigenwerte |
|---|---|---|
| positiv definit | $q(\vec v) > 0$ | alle $> 0$ |
| negativ definit | $q(\vec v) < 0$ | alle $< 0$ |
| positiv semidefinit | $q(\vec v) \ge 0$ | alle $\ge 0$, mindestens einer $= 0$ |
| negativ semidefinit | $q(\vec v) \le 0$ | alle $\le 0$, mindestens einer $= 0$ |
| indefinit | $q$ nimmt positive und negative Werte an | positive und negative |
Negativ definite Formen sehen aus wie positiv definite, nur auf dem Kopf: Ellipsen um einen „Gipfel“.
Kriterium der Hauptminoren (Sylvester)
Die führenden Hauptminoren $D_1, D_2, \ldots, D_n$ sind die Determinanten der linken oberen $1\times 1$-, $2\times 2$-, …, $n\times n$-Teilmatrizen.
Kriterium von Sylvester (für symmetrische A)
- A positiv definit $\iff$ $D_1 > 0,\ D_2 > 0,\ \ldots,\ D_n > 0$.
- A negativ definit $\iff$ die Vorzeichen wechseln, beginnend mit minus: $D_1 < 0,\ D_2 > 0,\ D_3 < 0,\ \ldots$
- Ist $D_n = \det A \ne 0$ und passt keines der beiden Muster, ist A indefinit.
- Ist ein $D_k = 0$, entscheiden die Eigenwerte (oder alle Hauptminoren, nicht nur die führenden).
Abkürzung für 2×2-Matrizen
Für $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$: Ist $\det A = ac - b^2 > 0$, dann ist A definit – positiv bei $a > 0$, negativ bei $a < 0$. Ist $\det A < 0$, ist A indefinit. Bei $\det A = 0$ ist A semidefinit (oder die Nullmatrix).
Beispiel 1: 3×3, positiv definit
$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$: $D_1 = 2$, $D_2 = 4 - 1 = 3$, $D_3 = 2\cdot 3 - (-1)\cdot(-2) + 0 = 4$. Alle positiv – A ist positiv definit. (Die Eigenwerte sind $2 - \sqrt2$, $2$ und $2 + \sqrt2$, alle positiv.)
Beispiel 2: indefinit schon nach zwei Minoren
$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$: $D_1 = 1 > 0$, aber $D_2 = 1 - 4 = -3 < 0$. Für positiv definit müsste $D_2 > 0$ sein, für negativ definit $D_1 < 0$ – also ist B indefinit. Tatsächlich ist $q(1, -1, 0) = 1 - 4 + 1 = -2$, aber $q(1, 1, 0) = 6$.
Hesse-Matrix: Extrema einordnen
Ist $P$ ein kritischer Punkt von $f$ (alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung sind dort 0), dann entscheidet die Hesse-Matrix $H_f(P)$ der zweiten Ableitungen:
| $H_f(P)$ ist … | f hat in P … |
|---|---|
| positiv definit | ein lokales Minimum |
| negativ definit | ein lokales Maximum |
| indefinit | einen Sattelpunkt |
| semidefinit (ein Eigenwert 0) | keine Entscheidung möglich – genauer untersuchen |
Beispiel 3: f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y
$f_x = 3x^2 - 3 = 0$ und $f_y = 2y - 2 = 0$ ergeben die kritischen Punkte $(1 \mid 1)$ und $(-1 \mid 1)$. Die Hesse-Matrix ist $H_f = \begin{pmatrix} 6x & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.
In $(1 \mid 1)$: $\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ ist positiv definit – lokales Minimum. In $(-1 \mid 1)$: $\begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ ist indefinit – Sattelpunkt.
Beispiel 4: drei Variablen
$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + xy - yz$ hat nur den kritischen Punkt $(0 \mid 0 \mid 0)$. Hesse-Matrix: $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}$ mit $D_1 = 2$, $D_2 = 3$, $D_3 = 4$ – positiv definit, also ein lokales (hier sogar globales) Minimum.
Definitheits-Rechner
Typische Fehler
- Nur auf die Diagonale schauen: Positive Diagonaleinträge reichen nicht – $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ist indefinit.
- Sylvester bei $D_k = 0$: Dann sagen die führenden Minoren nichts über Semidefinitheit; nimm die Eigenwerte.
- Negativ definit falsch geprüft: Nicht „alle Minoren negativ“, sondern abwechselnd: $D_1 < 0$, $D_2 > 0$, $D_3 < 0$, …
- Hesse-Matrix außerhalb eines kritischen Punkts: Ohne $\nabla f = \vec 0$ gibt es dort kein Extremum, egal wie die Matrix aussieht.
Online üben: Definitheit
Stufe 1: 2×2 einordnen
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Aufgabe 1
\(A = \begin{pmatrix}-4 & -2 \\ -2 & -1\end{pmatrix}\)\(a_{11} = -4,\) \(\det A = 4 - 4 = 0\) \(\Rightarrow\) negativ semidefinit
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Aufgabe 2
\(A = \begin{pmatrix}-5 & -1 \\ -1 & -3\end{pmatrix}\)\(a_{11} = -5,\) \(\det A = 15 - 1 = 14\) \(\Rightarrow\) negativ definit
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Aufgabe 3
\(A = \begin{pmatrix}-4 & -1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}\)\(a_{11} = -4,\) \(\det A = 4 - 1 = 3\) \(\Rightarrow\) negativ definit
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Aufgabe 4
\(A = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\)\(a_{11} = -2,\) \(\det A = 2 - 1 = 1\) \(\Rightarrow\) negativ definit
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Aufgabe 5
\(A = \begin{pmatrix}-6 & -1 \\ -1 & -3\end{pmatrix}\)\(a_{11} = -6,\) \(\det A = 18 - 1 = 17\) \(\Rightarrow\) negativ definit
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Aufgabe 6
\(A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 2 & 6\end{pmatrix}\)\(a_{11} = 3,\) \(\det A = 18 - 4 = 14\) \(\Rightarrow\) positiv definit
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Definitheit und Hesse-Matrix
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Kritische Punkte sucht der Rechner für mehrere Variablen (Modus Extrema); die Theorie dazu steht unter Extremwerte mit mehreren Variablen. Eigenwerte allein berechnet der Eigenwert-Rechner; Extrema unter Nebenbedingungen findest Du mit dem Lagrange-Rechner.
Weiterlesen: Definitheit, Hauptminor bei Wikipedia