Ableitungsrechner mit Rechenweg

Gib eine Funktion ein – der Rechner leitet sie Schritt für Schritt ab. Bei jedem Schritt siehst Du, welche Regel angewendet wird und warum. Das Ergebnis wird zusätzlich mit dem Computeralgebrasystem Maxima überprüft.

Bedingung: $x^{13}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Rechenweg

grün markiert: der Teil, der im jeweiligen Schritt neu entstanden ist

1. Kehrwert als negative Potenz schreiben Umschreiben

   \[\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}\]

   Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.

   \[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[479001600\,x^{-13}\right]}\,}}}\]

2. Faktorregel Ableiten

   \[\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'\]

   Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

   Hier ist $c = 479001600,\quad u = x^{-13}$.

   \[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,479001600\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-13}\right]}\,}}}\]

   Regel erklärt

3. Potenzregel (Spezialfall) Ableiten

   \[\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\]

   Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

   Hier ist $u = x,\quad c = -13$.

   \[\frac{d}{dx}{\left[x^{-13}\right]} \;\Rightarrow\; -13\,x^{-13 - 1}\]

   \[= 479001600\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-13\,x^{-13 - 1}\right)\,}}}\]

   Regel erklärt

4. Zahlen ausrechnen Vereinfachen

   Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

   \[-13 - 1 \;\Rightarrow\; -14\]

   \[= 479001600\,\left(-13\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-14\,}}}}\right)\]

5. Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachen

   Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

   \[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-479001600 \cdot 13\,x^{-14}\,}}}\]

6. Zahlen ausrechnen Vereinfachen

   Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

   \[479001600 \cdot 13 \;\Rightarrow\; 6227020800\]

   \[= -\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6227020800\,}}}\,x^{-14}\]

7. Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachen

   Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

   \[= \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{6227020800}{x^{14}}\,}}}\]

So benutzt Du den Ableitungsrechner

• Potenzen mit ^: x^3, Wurzeln mit sqrt(…) oder als Potenz x^(1/2).
• Malpunkte darfst Du weglassen: 3x^2, 2sin(x), x e^x.
• Funktionen: sin, cos, tan, e^x bzw. exp(x), ln, log, sqrt, abs – das Argument immer in Klammern.
• Andere Variable: Wähle rechts, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Alle anderen Buchstaben gelten dann als Konstanten (Parameter).
• Mit „Ergebnis noch einmal ableiten“ bekommst Du die zweite, dritte … Ableitung.

Welche Regeln verwendet der Rechner?

Dieselben wie Du im Unterricht: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Jeder Schritt wendet genau eine Regel auf einen Teil der Funktion an – grün markiert ist jeweils der Teil, der gerade neu entstanden ist. Danach wird das Ergebnis vereinfacht (Zahlen ausrechnen, zusammenfassen, kürzen).

Was die Ableitung überhaupt bedeutet, erfährst Du unter Ableitung einfach erklärt.

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