Horner-Schema
Das Horner-Schema ist eine kleine Tabelle, mit der Du drei Dinge auf einmal erledigst: den Funktionswert $f(a)$ eines Polynoms berechnen, das Polynom durch $(x - a)$ teilen und prüfen, ob $a$ eine Nullstelle ist. Du brauchst dafür nur Malnehmen und Addieren – keine Potenzen und keine lange Polynomdivision.
Die Idee: geschickt ausklammern
Nimm $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$. Fehlende Potenzen ergänzt Du mit $0$: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 0x + 4$. Jetzt klammerst Du immer wieder $x$ aus:
Von innen nach außen gerechnet heißt das: Mit der ersten Zahl anfangen, mal $x$, die nächste Zahl dazu, wieder mal $x$, die nächste Zahl dazu … Genau diesen Ablauf schreibt das Horner-Schema als Tabelle auf.
So geht das Schema
Merke: Horner-Schema für $f(a)$
- Schreibe die Koeffizienten von der höchsten Potenz bis zur Zahl ohne $x$ in die erste Zeile. Fehlt eine Potenz, schreibst Du $0$.
- Hol die erste Zahl herunter in die Summenzeile.
- Nimm die Zahl unten mal $a$ und schreibe das Ergebnis schräg rechts darüber in die mittlere Zeile.
- Addiere die beiden Zahlen der Spalte und schreibe die Summe nach unten.
- Wiederhole Schritt 3 und 4 bis zur letzten Spalte. Die letzte Zahl unten ist $f(a)$.
Beispiel 1: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$ an der Stelle $a = 2$
| $x^{3}$ | $x^{2}$ | $x$ | $x^0$ | |
|---|---|---|---|---|
| Koeffizienten | $2$ | $-3$ | $0$ | $4$ |
| $+\ 2 \cdot{}$… | $4$ | $2$ | $4$ | |
| Summe | $2$ | $1$ | $2$ | $8$ |
Gerechnet: $2$ herunterholen; $2 \cdot 2 = 4$, $-3 + 4 = 1$; $1 \cdot 2 = 2$, $0 + 2 = 2$; $2 \cdot 2 = 4$, $4 + 4 = 8$. Also ist $f(2) = 8$.
Probe durch Einsetzen: $2 \cdot 8 - 3 \cdot 4 + 4 = 16 - 12 + 4 = 8$ ✓.
Bei einem Polynom vom Grad $n$ brauchst Du so nur $n$ Multiplikationen und $n$ Additionen. Beim direkten Einsetzen kommen die Potenzen noch dazu – das Horner-Schema ist schneller und weniger fehleranfällig, besonders bei großen Zahlen und Brüchen.
Division durch $(x - a)$
Das Schema liefert nebenbei noch mehr: Die Zahlen der Summenzeile vor der letzten sind die Koeffizienten des Quotienten von $f(x) : (x - a)$. Die letzte Zahl ist der Rest. Es gilt immer:
Beispiel 2: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1)$
| $x^{3}$ | $x^{2}$ | $x$ | $x^0$ | |
|---|---|---|---|---|
| Koeffizienten | $1$ | $-6$ | $11$ | $-6$ |
| $+\ 1 \cdot{}$… | $1$ | $-5$ | $6$ | |
| Summe | $1$ | $-5$ | $6$ | $0$ |
Der Rest ist $0$ – die Division geht auf, und $x = 1$ ist eine Nullstelle. Aus der Summenzeile liest Du den Quotienten ab: $1$, $-5$, $6$ bedeutet $x^2 - 5x + 6$.
Das ist dasselbe Ergebnis wie bei der Polynomdivision – nur viel kürzer aufgeschrieben.
Beispiel 3: Division mit Rest – $(x^3 + 2x^2 - 5) : (x + 2)$
Achtung: Teilen durch $x + 2$ heißt Teilen durch $x - (-2)$, also ist $a = -2$.
| $x^{3}$ | $x^{2}$ | $x$ | $x^0$ | |
|---|---|---|---|---|
| Koeffizienten | $1$ | $2$ | $0$ | $-5$ |
| $+\ -2 \cdot{}$… | $-2$ | $0$ | $0$ | |
| Summe | $1$ | $0$ | $0$ | $-5$ |
Quotient $x^2$, Rest $-5$: $\;x^3 + 2x^2 - 5 = (x + 2) \cdot x^2 - 5$. Weil der Rest nicht $0$ ist, ist $-2$ keine Nullstelle.
Nullstellen raten und testen
Bei Gleichungen dritten Grades hilft das Horner-Schema beim Nullstellen-Raten: Du testest Kandidaten, bis der Rest $0$ ist, und hast dann sofort den quadratischen Rest-Faktor. Welche Zahlen in Frage kommen, verrät der Satz über rationale Nullstellen:
Merke: Kandidaten für Nullstellen
Hat das Polynom ganzzahlige Koeffizienten, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$: $p$ teilt die Zahl ohne $x$, $q$ teilt den Koeffizienten der höchsten Potenz. Ist dieser Koeffizient $1$, kommen nur die Teiler der Zahl ohne $x$ in Frage.
Beispiel 4: $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0$
Teiler von $6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$; Teiler von $2$: $1, 2$. Kandidaten sind also $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$. Ein Test mit $a = 1$ ergibt den Rest $-6$, aber $a = 3$ passt:
| $x^{3}$ | $x^{2}$ | $x$ | $x^0$ | |
|---|---|---|---|---|
| Koeffizienten | $2$ | $-3$ | $-11$ | $6$ |
| $+\ 3 \cdot{}$… | $6$ | $9$ | $-6$ | |
| Summe | $2$ | $3$ | $-2$ | $0$ |
Der Rest-Faktor ist $2x^2 + 3x - 2$. Mit der abc-Formel: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$, also $x = \frac{1}{2}$ und $x = -2$.
Typische Fehler
- Null vergessen: Fehlt eine Potenz (wie $x^1$ in $2x^3 - 3x^2 + 4$), muss in der ersten Zeile eine $0$ stehen. Sonst rutschen alle Spalten.
- Falsches Vorzeichen von $a$: Bei $(x + 3)$ ist $a = -3$, bei $(x - 3)$ ist $a = 3$.
- Subtrahieren statt addieren: Im Horner-Schema wird immer addiert (anders als bei der schriftlichen Polynomdivision).
- Quotient falsch abgelesen: Der Quotient hat einen Grad weniger als $f$ – die letzte Zahl ist der Rest, nicht ein Koeffizient.
Horner-Trainer: Fülle das Schema aus
Rechner: Horner-Schema
Ergebnis
Nullstellen von $f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 11x + 6$:
Rechenweg
Koeffizienten aufschreiben
Schreibe alle Koeffizienten von der höchsten Potenz bis zur Zahl ohne x auf. Fehlt eine Potenz, steht dort eine 0.
\[f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 11x + 6\]\[\text{Koeffizienten: } 2;\ -3;\ -11;\ 6\]Kandidaten für rationale Nullstellen
Ganzzahlige Nullstellen sind Teiler der Zahl ohne x (6). Allgemein kommen nur Brüche p/q infrage: p teilt 6, q teilt den Leitkoeffizienten 2.
\[\pm\ \frac{1}{2},\ 1,\ \frac{3}{2},\ 2,\ 3,\ 6\]Kandidaten mit dem Horner-Schema testen
Ist der Rest 0, ist der Kandidat eine Nullstelle. Dann wird mit dem kleineren Polynom (der letzten Zeile des Schemas) weitergemacht.
Kandidat Rest (Horner) $\frac{1}{2}$ $0$ Nullstelle ✓ Abspalten von (x - \frac{1}{2})
Horner-Schema mit a = 1/2: Die letzte Zeile ohne den Rest ist das neue, kleinere Polynom.
$x^{3}$ $x^{2}$ $x$ $x^0$ Koeffizienten $2$ $-3$ $-11$ $6$ $+\ \frac{1}{2} \cdot{}$… $1$ $-1$ $-6$ Summe $2$ $-2$ $-12$ $0$ Quadratischer Rest
Übrig bleibt eine quadratische Gleichung – sie wird mit der abc-Formel (oder pq-Formel) gelöst.
\[\text{Rest: } 2x^{2} - 2x - 12 = 0\]\[D = b^2 - 4ac = 100\]\[x = -2,\quad x = 3\]
Online üben
Bei den Divisionsaufgaben gibst Du den Quotienten als Term ein, zum Beispiel x^2 - 5x + 6. Mehrere Nullstellen trennst Du mit ;.
Stufe 1: Funktionswerte
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Aufgabe 1
\(f(x) = x^{3} + 2x^{2} - x + 4;\quad f(-1)\)\(f(-1) =\)\(f(-1) = 6\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = 2x^{3} + 4x - 5;\quad f(3)\)\(f(3) =\)\(f(3) = 61\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x + 5;\quad f(2)\)\(f(2) =\)\(f(2) = 5\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = x^{3} + 6x^{2} - 2x + 2;\quad f(3)\)\(f(3) =\)\(f(3) = 77\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = x^{3} + 6x^{2} + 4x + 4;\quad f(-1)\)\(f(-1) =\)\(f(-1) = 5\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Horner-Schema
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Die ausführliche schriftliche Division zeigt die Polynomdivision, zum Selbstausfüllen gibt es Polynomdivision üben. Alle Wege zu Nullstellen findest Du unter Nullstellen berechnen. Lässt sich keine Nullstelle raten, helfen Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren. Benannt ist das Schema nach William George Horner, der es 1819 veröffentlichte – bekannt war das Verfahren aber schon viel früher.
Weiterlesen: Horner-Schema bei Wikipedia