Kurvendiskussion-Rechner
Gib eine Funktion ein – der Rechner führt die komplette Kurvendiskussion durch: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Polstellen und Asymptoten, Monotonie, Krümmung und Verhalten an den Rändern. Das klappt für Polynome ebenso wie für e-Funktionen, ln-Funktionen, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen. Auf Wunsch berechnet er auch die Tangente.
Ergebnis
Kurvendiskussion von $f(x) = \frac{2\,x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$:
| Definitionsbereich | \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -2;\ 2 \right\}\) |
|---|---|
| Nullstellen | keine |
| Hochpunkte | \(H\left(0 \,\middle|\, -\frac{1}{4}\right)\) |
| Tiefpunkte | keine |
| Wendepunkte | keine |
| Asymptoten | \(x = -2\), \(x = 2\), \(y = 2\) |
Werte mit ≈ sind auf drei Nachkommastellen gerundet. Exakte Werte wurden mit dem Computeralgebrasystem Maxima berechnet.
Rechenweg
Ableitungen
Die Ableitungen wurden mit den Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel) gebildet und vereinfacht. Den ausführlichen Rechenweg zeigt der Ableitungsrechner.
\[f(x) = \frac{2\,x^{2} + 1}{x^{2} - 4}\]\[f'(x) = -\frac{18\,x}{x^{4} - 8\,x^{2} + 16}\]\[f''(x) = \frac{18\,\left(3\,x^{2} + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{3}\,\left(x + 2\right)^{3}}\]\[f'''(x) = -\frac{216\,x\,\left(x^{2} + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{4}\,\left(x + 2\right)^{4}}\]Definitionsbereich
Ausgeschlossen sind alle x, für die ein Nenner 0 wird, ein Logarithmus kein positives Argument hat oder unter einer Wurzel eine negative Zahl steht. Daraus ergeben sich die Bedingungen:
\[x^{2} - 4 \neq 0\quad \text{(Nenner)}\]\[D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -2;\ 2 \right\}\]Symmetrie
Es gilt f(−x) = f(x): Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
\[f(-x) = f(x)\]Verhalten an den Rändern und Asymptoten
Untersucht wird, wie sich f(x) für x → ±∞ und bei Annäherung an die Ränder bzw. Lücken des Definitionsbereichs verhält. Strebt f(x) gegen ±∞, hat der Graph dort eine senkrechte Asymptote; strebt f(x) für x → ±∞ gegen eine Zahl, eine waagerechte.
\[\lim_{x \to -2^-} f(x) = \infty,\qquad \lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty\quad\Rightarrow\quad \text{Polstelle mit Vorzeichenwechsel, senkrechte Asymptote } x = -2\]\[\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty,\qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = \infty\quad\Rightarrow\quad \text{Polstelle mit Vorzeichenwechsel, senkrechte Asymptote } x = 2\]\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\quad\Rightarrow\quad \text{waagerechte Asymptote } y = 2\]\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2\quad\Rightarrow\quad \text{waagerechte Asymptote } y = 2\]Schnittpunkt mit der y-Achse
Setze x = 0 ein.
\[f(0) = -\frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad S_y\left(0 \,\middle|\, -\frac{1}{4}\right)\]Nullstellen
Setze f(x) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist; ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist (und der Nenner nicht). Faktoren wie eˣ werden nie 0. Die Gleichung hat keine Lösung – der Graph schneidet die x-Achse nicht.
\[f(x) = 0\]Extrempunkte
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0. Hinreichend: f''(x) < 0 (Hochpunkt) bzw. f''(x) > 0 (Tiefpunkt); ist f''(x) = 0, entscheidet der Vorzeichenwechsel von f'.
\[f'(x) = -\frac{18\,x}{x^{4} - 8\,x^{2} + 16} = 0\]\[f''(0) = -\frac{9}{8} < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt}\]\[f(0) = -\frac{1}{4}\]Wendepunkte
Notwendige Bedingung: f''(x) = 0. Hinreichend: f'''(x) ≠ 0 bzw. ein Vorzeichenwechsel von f''. Ist dort zusätzlich f'(x) = 0, ist es ein Sattelpunkt. Die Gleichung f''(x) = 0 hat keine Lösung – es gibt keine Wendepunkte.
\[f''(x) = \frac{18\,\left(3\,x^{2} + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{3}\,\left(x + 2\right)^{3}} = 0\]Monotonie
Zwischen den Nullstellen von f' und den Lücken des Definitionsbereichs ändert f' sein Vorzeichen nicht. Wo f'(x) > 0 ist, steigt der Graph, wo f'(x) < 0 ist, fällt er.
Intervall Vorzeichen Verhalten \(\left(-\infty;\ -2\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \(\left(-2;\ 0\right)\) \(f'(x) > 0\) streng monoton steigend \(\left(0;\ 2\right)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend \(\left(2;\ \infty\right)\) \(f'(x) < 0\) streng monoton fallend Krümmung
Wo f''(x) > 0 ist, ist der Graph linksgekrümmt, wo f''(x) < 0 ist, rechtsgekrümmt.
Intervall Vorzeichen Verhalten \(\left(-\infty;\ -2\right)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt \(\left(-2;\ 2\right)\) \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt \(\left(2;\ \infty\right)\) \(f''(x) > 0\) linksgekrümmt
Graph
N = Nullstelle, H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, S = Sattelpunkt; gestrichelt: Asymptoten.
So funktioniert der Rechner
Der Rechner arbeitet wie Du im Heft – und zwar exakt mit Brüchen, Wurzeln, e und π:
- Polynome rechnet er Schritt für Schritt wie im Unterricht: Ausklammern, Nullstelle raten mit Polynomdivision, pq- bzw. abc-Formel.
- Alle anderen Funktionen (e-, ln-, gebrochenrationale, Wurzel- und trigonometrische Funktionen) untersucht er mit dem Computeralgebrasystem Maxima: Definitionsbereich, Polstellen und hebbare Lücken, senkrechte, waagerechte und schräge Asymptoten, Grenzwerte an den Rändern und alle besonderen Punkte. Jede gefundene Stelle wird zusätzlich numerisch geprüft.
- Nur wenn es keine „schöne“ Lösung gibt, rechnet er mit einem Näherungsverfahren und kennzeichnet die Werte mit ≈. Bei trigonometrischen Funktionen gibt es unendlich viele besondere Stellen – angegeben werden die im Intervall [−2π; 2π].
Eingabe: x^3 für x³, e^(-x) oder exp(-x), ln(x), sqrt(x) für √x, sin(x), Brüche mit / wie (x^2-4)/(x-1), Malpunkt * darf fehlen: 2x e^x. Den Rechenweg der Ableitungen zeigt der Ableitungsrechner.
Alle Schritte im Detail erklärt findest Du unter Kurvendiskussion. Steht in Deiner Funktion ein Parameter wie a oder k (eine Funktionenschar), nutze den Funktionenschar-Rechner – er berechnet die Punkte in Abhängigkeit vom Parameter und die Ortskurve.