Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel
Ein Integral berechnest Du normalerweise mit einer Stammfunktion. Doch manchmal gibt es keine, die sich mit bekannten Funktionen hinschreiben lässt – und manchmal kennst Du die Funktion gar nicht, sondern nur Messwerte. Dann hilft die numerische Integration: Sie ersetzt die Fläche unter dem Graphen durch einfache Figuren, deren Inhalt man leicht ausrechnen kann.
Wann braucht man das?
- Für $\int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ (wichtig in der Statistik) oder $\int_1^2 \frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x$ gibt es keine Stammfunktion aus den üblichen Funktionen.
- Ein Fahrtenschreiber speichert alle 10 Sekunden die Geschwindigkeit. Der gefahrene Weg ist die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve – aber zwischen den Messpunkten ist nichts bekannt.
- Taschenrechner und Computer berechnen bestimmte Integrale fast immer numerisch.
Gemeinsame Grundlage: Streifen
Alle Regeln teilen das Intervall $[a;\,b]$ in $n$ gleich breite Streifen der Breite $h = \frac{b - a}{n}$. Die Stellen $x_0 = a,\ x_1 = a + h,\ \ldots,\ x_n = b$ heißen Stützstellen, $f(x_i)$ die Stützwerte.
| Regel | Ersatzfigur je Streifen | Formel |
|---|---|---|
| Mittelpunktregel | Rechteck mit der Höhe in der Streifenmitte | $M_n = h \cdot \left(f(x_0 + \tfrac{h}{2}) + f(x_1 + \tfrac{h}{2}) + \ldots + f(x_{n-1} + \tfrac{h}{2})\right)$ |
| Trapezregel | Trapez unter der Strecke zwischen zwei Stützpunkten | $T_n = \frac{h}{2} \cdot \left(f(x_0) + 2f(x_1) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\right)$ |
| Simpsonregel ($n$ gerade) | Fläche unter einer Parabel durch drei Stützpunkte, je zwei Streifen | $S_n = \frac{h}{3} \cdot \left(f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\right)$ |
Die Trapezregel wird auf der Seite zum Newton-Verfahren ausführlich vorgestellt. Hier geht es vor allem um die genauere Simpsonregel.
Die Simpsonregel: Parabeln statt Strecken
Eine Strecke kann einer Kurve nur grob folgen. Eine Parabel durch drei Punkte schmiegt sich viel besser an. Für einen Doppelstreifen von $a$ bis $b$ mit der Mitte $m = \frac{a + b}{2}$ ergibt die Fläche unter dieser Parabel die Keplersche Fassregel:
Johannes Kepler benutzte sie, um den Inhalt von Weinfässern zu schätzen. Setzt man viele Doppelstreifen aneinander, entstehen die Gewichte $1, 4, 2, 4, 2, \ldots, 4, 1$ der Simpsonregel: Jede innere gerade Stelle gehört zu zwei Parabeln und zählt deshalb doppelt.
Beispiel: $\int_0^1 \frac{4}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x$ mit zwei Streifen
$h = 0{,}5$, Stützwerte $f(0) = 4$, $f(0{,}5) = 3{,}2$ und $f(1) = 2$.
Trapezregel: $T_2 = \frac{0{,}5}{2} \cdot (4 + 2 \cdot 3{,}2 + 2) = 0{,}25 \cdot 12{,}4 = 3{,}1$
Simpsonregel: $S_2 = \frac{0{,}5}{3} \cdot (4 + 4 \cdot 3{,}2 + 2) = \frac{18{,}8}{6} \approx 3{,}1333$
Der exakte Wert ist $\pi \approx 3{,}1416$ (denn eine Stammfunktion ist $4\arctan(x)$). Die Simpsonregel liegt schon mit nur drei Funktionswerten fünfmal näher dran als die Trapezregel.
Wie genau sind die Regeln?
Verdoppelst Du die Anzahl der Streifen, wird $h$ halb so groß. Bei der Mittelpunkt- und der Trapezregel wird der Fehler dann etwa viermal so klein (er wächst wie $h^2$), bei der Simpsonregel etwa sechzehnmal (wie $h^4$). Die Tabelle zeigt das für $\int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x \approx 0{,}7468241$:
| n | Mittelpunkt | Fehler | Trapez | Fehler | Simpson | Fehler |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0,7545979 | 0,0077738 | 0,7313703 | 0,0154539 | 0,7471804 | 0,000356296 |
| 4 | 0,7487471 | 0,001923 | 0,7429841 | 0,00384 | 0,7468554 | 0,000031247 |
| 8 | 0,7473036 | 0,0004794 | 0,7458656 | 0,0009585 | 0,7468261 | 0,000001988 |
Zwei Beobachtungen: Der Fehler der Mittelpunktregel ist ungefähr halb so groß wie der der Trapezregel, aber mit umgekehrtem Vorzeichen. Und die Simpsonregel ist so genau, dass ihr Fehler schon bei $n = 4$ nur etwa $0{,}00003$ beträgt – die Trapezregel bräuchte dafür rund 45 Streifen. Kombiniert man die beiden einfachen Regeln geschickt, erhält man übrigens genau die Simpsonregel: $S_{2n} = \frac{2M_n + T_n}{3}$.
Merke
Die Simpsonregel berechnet Integrale von ganzrationalen Funktionen bis zum Grad 3 exakt – schon mit $n = 2$. Bei der Trapezregel gilt das nur für Geraden.
Messwerte integrieren
Beispiel: Weg aus Geschwindigkeiten
Ein Radfahrer fährt los. Alle 10 Sekunden wird seine Geschwindigkeit gemessen:
| t in s | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| v in m/s | 4 | 6 | 7 | 7 | 5 |
Trapezregel mit $h = 10$: $s \approx \frac{10}{2} \cdot (4 + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 7 + 5) = 5 \cdot 49 = 245$ m.
Simpsonregel mit $h = 10$: $s \approx \frac{10}{3} \cdot (4 + 4 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 5) = \frac{10}{3} \cdot 75 = 250$ m.
Welcher Wert näher an der Wahrheit liegt, kann man ohne weitere Messungen nicht sagen. Bei glatt verlaufenden Messgrößen ist die Simpsonregel meist die bessere Wahl.
Rechner: Simpsonregel und Vergleich der Regeln
Beim Vergleich mit $\sqrt{x}$ sinkt der Fehler langsamer als erwartet: Die Wurzelfunktion ist an der Stelle 0 nicht glatt (ihre Steigung wird dort unendlich groß). Die Faustregeln „viermal“ und „sechzehnmal“ gelten nur für glatte Funktionen.
Online üben
Rechne mit Brüchen oder Dezimalzahlen. Bei Aufgaben „auf 4 Nachkommastellen“ genügt das gerundete Ergebnis.
Stufe 3: Näherungen mit dem Taschenrechner
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Aufgabe 1
\(S_4\text{ für } \int_{0}^{1} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\) (4 Nachkommastellen)\(h = 0{,}25,\ S_4 \approx 0{,}746855\)
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Aufgabe 2
\(T_4\text{ für } \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x\) (4 Nachkommastellen)\(h = 0{,}25,\ T_4 \approx 0{,}782794\)
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Aufgabe 3
\(S_2\text{ für } \int_{1}^{3} \ln(x)\,\mathrm{d}x\) (4 Nachkommastellen)\(h = 1,\ S_2 \approx 1{,}2904\)
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Aufgabe 4
\(S_4\text{ für } \int_{1}^{2} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\) (4 Nachkommastellen)\(h = 0{,}25,\ S_4 \approx 0{,}693254\)
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Aufgabe 5
\(S_4\text{ für } \int_{0}^{2} e^{x}\,\mathrm{d}x\) (4 Nachkommastellen)\(h = 0{,}5,\ S_4 \approx 6{,}39121\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Trapez- und Simpsonregel
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Wie man Integrale exakt berechnet, erklärt die Integralrechnung; der Integralrechner zeigt den Rechenweg. Nullstellen näherungsweise bestimmen: Intervallhalbierung und Fixpunktiteration.
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