Tangente und Normale berechnen
Der Rechner stellt die Tangentengleichung und die Normalengleichung auf – Schritt für Schritt mit Graph. Er löst die drei typischen Aufgaben: Tangente in einem Punkt, Tangente mit vorgegebener Steigung und Tangente von einem Punkt außerhalb des Graphen.
Tangente und Normale in einem Punkt
Die Tangente berührt den Graphen im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ und hat dort dieselbe Steigung wie der Graph, also $m_t = f'(x_0)$. Die Normale geht durch denselben Punkt, steht aber senkrecht auf der Tangente. Für zwei zueinander senkrechte Geraden gilt $m_t \cdot m_n = -1$.
Beispiel
Gesucht sind Tangente und Normale an $f(x) = x^2 - 4x + 5$ an der Stelle $x_0 = 3$.
1. Punkt: $f(3) = 9 - 12 + 5 = 2$, also $P(3 \mid 2)$.
2. Steigung: $f'(x) = 2x - 4$, also $m_t = f'(3) = 2$.
3. Tangente: $t(x) = 2 \cdot (x - 3) + 2 = 2x - 4$
4. Normale: $m_n = -\frac{1}{2}$, also $n(x) = -\frac{1}{2} \cdot (x - 3) + 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$
Sonderfall: waagerechte Tangente
Ist $f'(x_0) = 0$, dann ist die Tangente waagerecht: $t(x) = f(x_0)$. Die Normale ist dann eine senkrechte Gerade $x = x_0$ – die kannst Du nicht als $n(x) = \ldots$ schreiben, weil Du nicht durch 0 teilen darfst.
Tangente mit vorgegebener Steigung
Hier ist die Steigung $m$ bekannt, der Berührpunkt aber nicht. Typische Formulierungen: „Die Tangente soll parallel zur Geraden $y = 3x - 1$ verlaufen“ (dann ist $m = 3$) oder „…senkrecht zur Geraden $y = -\frac{1}{2}x$“ (dann ist $m = 2$).
- Löse die Gleichung $f'(x) = m$. Die Lösungen sind die Berührstellen.
- Berechne für jede Berührstelle den y-Wert.
- Stelle die Tangente auf: $t(x) = m \cdot (x - x_B) + f(x_B)$.
Bei einer Funktion 3. Grades gibt es oft zwei Tangenten mit derselben Steigung, denn $f'(x) = m$ ist eine quadratische Gleichung.
Tangente von einem Punkt außerhalb
Liegt der Punkt $P(p \mid q)$ nicht auf dem Graphen, kennst Du weder den Berührpunkt noch die Steigung. Der Trick: Nenne die unbekannte Berührstelle $u$ und stelle die Tangente allgemein auf. Dann muss $P$ diese Gleichung erfüllen.
Beispiel
Welche Tangenten an $f(x) = x^2 + 1$ gehen durch $P(1 \mid -2)$?
Mit $f'(u) = 2u$ lautet die Bedingung $-2 = 2u \cdot (1 - u) + u^2 + 1$.
Vereinfacht: $-2 = 2u - 2u^2 + u^2 + 1 \;\Leftrightarrow\; u^2 - 2u - 3 = 0 \;\Leftrightarrow\; u_1 = -1,\ u_2 = 3$.
Berührpunkte: $B_1(-1 \mid 2)$ mit $t_1(x) = -2x$ und $B_2(3 \mid 10)$ mit $t_2(x) = 6x - 8$.
Tipp: Wie viele Tangenten gibt es?
Bei einer nach oben geöffneten Parabel gibt es von einem Punkt unterhalb des Graphen zwei Tangenten, von einem Punkt auf dem Graphen genau eine und von einem Punkt oberhalb keine. Genau das zeigt die Diskriminante der Gleichung für $u$.
Typische Fehler
Darauf achten
- In die Tangentengleichung gehört die Zahl $f'(x_0)$, nicht der Term $f'(x)$.
- Normale: Kehrwert und Vorzeichen ändern. Aus $m_t = \frac{2}{3}$ wird $m_n = -\frac{3}{2}$, nicht $-\frac{2}{3}$.
- Beim Punkt außerhalb: $P$ ist nicht der Berührpunkt. Setze $p$ und $q$ erst ein, nachdem Du die Tangente mit der Unbekannten $u$ aufgestellt hast.
- Klammern vergessen: $-2 \cdot (x - 3)$ ergibt $-2x + 6$, nicht $-2x - 6$.
Übungsaufgaben
Stufe 2: Tangenten mit vorgegebener Steigung
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Aufgabe 1
\(f(x) = -2e^{3x}:\) Berührstelle der Tangente mit Steigung \(-6\)\(x =\)\(f'(x) = -6e^{3x} = -6\ \Rightarrow\ e^{3x} = 1\ \Rightarrow\ x = 0\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = -2x^{2} - 2x - 3:\) Tangente, \(m = 2\)\(t(x) =\)\(f'(x) = -4x - 2\) \(= 2\) \(\Rightarrow\ x = -1,\) \(f(-1) = -3\) \(\Rightarrow\ t(x) = 2x - 1\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = -2x^{2} + 4x + 2:\) Berührpunkt, \(m = -12\)\(f'(x) = -4x + 4\) \(= -12\) \(\Rightarrow\ x = 4\) \(\Rightarrow\ B(4 \mid -14)\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = 2e^{3x}:\) Berührstelle der Tangente mit Steigung \(6\)\(x =\)\(f'(x) = 6e^{3x} = 6\ \Rightarrow\ e^{3x} = 1\ \Rightarrow\ x = 0\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = -e^{2x}:\) Berührstelle der Tangente mit Steigung \(-6\)\(x =\)\(f'(x) = -2e^{2x}\) \(= -6\) \(\Rightarrow\ e^{2x} = 3\) \(\Rightarrow\ x = \frac{\ln(3)}{2}\) \(\approx 0{,}549\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Tangente und Normale
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Woher die Tangentengleichung kommt (Sekante, Differenzenquotient, h-Methode), erklärt die Seite Ableitung – dort gibt es auch einfache Tangenten-Übungen. Die Tangente im Wendepunkt berechnet der Rechner auf der Seite Wendetangente, Ableitungen mit allen Regeln der Ableitungsrechner.
Weiterlesen: Tangente bei Wikipedia