Betragsfunktion
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von 0 auf der Zahlengeraden: $|3| = 3$ und $|-3| = 3$. Die Funktion, die jeder Zahl ihren Betrag zuordnet, hat einen Graphen wie ein großes V – zwei Geradenstücke, die sich in einem Knick treffen.
Die Grundfunktion $f(x) = |x|$
Für positive Zahlen (und 0) ändert der Betrag nichts, bei negativen Zahlen fällt das Minuszeichen weg. In Formeln:
- Knickpunkt im Ursprung $S(0 \mid 0)$ – dort ist der Graph nicht glatt, die Steigung springt von $-1$ auf $1$.
- Symmetrie: achsensymmetrisch zur y-Achse, denn $|-x| = |x|$.
- Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich $W = [0;\,\infty[$.
Verschieben, strecken, spiegeln: $f(x) = a \cdot |x - d| + e$
Wie bei Parabeln lässt sich der Graph mit drei Zahlen verändern (mehr dazu bei Funktionen verschieben und strecken):
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| $d$ | verschiebt nach rechts ($d > 0$) bzw. links ($d < 0$) – der Knick liegt bei $x = d$ |
| $e$ | verschiebt nach oben ($e > 0$) bzw. unten ($e < 0$) – der Knick liegt auf der Höhe $e$ |
| $a$ | Steigung der Äste: $a$ rechts, $-a$ links. Bei $|a| > 1$ steiler, bei $|a| < 1$ flacher, bei $a < 0$ nach unten geöffnet |
Der Knickpunkt ist also $S(d \mid e)$. Ist $a$ positiv, ist $e$ der kleinste Funktionswert, bei negativem $a$ der größte.
Betragsfunktion mit Reglern: $f(x) = a \cdot |x - d| + e$
Abschnittsweise Darstellung
Ohne Betragsstriche besteht jede solche Funktion aus zwei Geradenstücken. Du brauchst nur die Stelle, an der der Inhalt des Betrags 0 wird.
Beispiel: $f(x) = 2|x - 1| - 4$
Für $x \ge 1$ ist $x - 1 \ge 0$, die Striche fallen einfach weg: $f(x) = 2(x - 1) - 4 = 2x - 6$.
Für $x < 1$ ist $x - 1$ negativ, also $|x - 1| = -(x - 1)$: $f(x) = -2(x - 1) - 4 = -2x - 2$.
Nullstellen: $2x - 6 = 0$ ergibt $x = 3$ (liegt im Bereich $x \ge 1$ ✓), $-2x - 2 = 0$ ergibt $x = -1$ (liegt im Bereich $x < 1$ ✓).
Betragsgleichungen und -ungleichungen am Graphen
Weil $|x - d|$ der Abstand von $x$ zu $d$ ist, kannst Du viele Aufgaben direkt ablesen:
- $|x - 1| = 2$: Abstand 2 von der 1 – also $x = -1$ oder $x = 3$. Im Graphen sind das die Schnittstellen von $y = |x - 1|$ mit der Geraden $y = 2$.
- $|x - 1| < 2$: Der Graph liegt unter der Geraden – zwischen den Schnittstellen: $x \in\ ]-1;\,3[$.
- $|x - 1| > 2$: Der Graph liegt über der Geraden – außerhalb: $x < -1$ oder $x > 3$.
Kompliziertere Fälle mit mehreren Beträgen rechnet der Betragsungleichungs-Rechner mit Fallunterscheidung vor.
Anwendung: Toleranzen
Beispiel
Ein Bolzen soll 50 mm lang sein und darf höchstens 0,2 mm abweichen. Für die tatsächliche Länge $x$ heißt das $|x - 50| \le 0{,}2$, also $49{,}8 \le x \le 50{,}2$. Die Abweichung $f(x) = |x - 50|$ ist eine Betragsfunktion mit dem Knick bei 50.
Online üben
Punkte schreibst Du als (2|-1), Lösungen mit Semikolon getrennt, Bereiche als Intervall, zum Beispiel [-1; 3] oder x < -1 oder x > 3.
Stufe 2: Nullstellen und Schnittstellen
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Aufgabe 1
\(f(x) = -\left|x + 4\right| - 4:\) Nullstellen?\(x =\)\(\left|x + 4\right| = -4\ (\)unmöglich\()\) \(\Rightarrow\ L = \{\,\}\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = \left|x + 1\right| + 2:\) Schnittstellen mit \(y = -1\ ?\)\(x =\)\(\left|x + 1\right| = -3\ (\)unmöglich\()\) \(\Rightarrow\ L = \{\,\}\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = -2\left|x - 5\right| - 1:\) Schnittstellen mit \(y = 1\ ?\)\(x =\)\(\left|x - 5\right| = -1\ (\)unmöglich\()\) \(\Rightarrow\ L = \{\,\}\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = 3\left|x + 1\right| + 1:\) Nullstellen?\(x =\)\(\left|x + 1\right| = -\frac{1}{3}\ (\)unmöglich\()\) \(\Rightarrow\ L = \{\,\}\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = -\left|x - 4\right| + 3:\) Nullstellen?\(x =\)\(\left|x - 4\right| = 3\ \Rightarrow\ L = \{1;\ 7\}\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = 2\left|x - 1\right| - 5:\) Nullstellen?\(x =\)\(\left|x - 1\right| = \frac{5}{2}\ \Rightarrow\ L = \{-\frac{3}{2};\ \frac{7}{2}\}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Betragsfunktionen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–11.
Der Betrag in Ungleichungen und Beweisen: Ungleichungen und Beträge im Brückenkurs. Geraden als Bausteine: lineare Funktionen.
Weiterlesen: Betragsfunktion bei Wikipedia