Bogenmaß und Einheitskreis
Ab Klasse 10 misst man Winkel nicht mehr nur in Grad, sondern im Bogenmaß. Am Einheitskreis siehst Du, was Sinus und Kosinus für beliebige Winkel bedeuten – auch über 90° hinaus. Damit löst Du schließlich trigonometrische Gleichungen wie $\sin x = \frac{1}{2}$ vollständig.
Was ist das Bogenmaß?
Im Gradmaß wird eine volle Umdrehung in 360 gleiche Teile geteilt. Das Bogenmaß misst einen Winkel stattdessen durch die Länge des Bogens, den er aus dem Einheitskreis (Radius 1) herausschneidet. Eine volle Umdrehung entspricht dem Kreisumfang $2\pi \approx 6{,}28$. Die Einheit heißt Radiant (rad) und wird meist weggelassen.
Umrechnen
Gradmaß $\alpha$ in Bogenmaß $x$: $\;x = \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}$ Bogenmaß $x$ in Gradmaß $\alpha$: $\;\alpha = x \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}$
Beispiele
- $150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180}$ $= \frac{150}{180}\,\pi = \frac{5\pi}{6}$ (Bruch kürzen!)
- $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ$ – einfach $\pi$ durch $180^\circ$ ersetzen.
- $2 = 2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 114{,}59^\circ$ (ohne $\pi$ geht es nur mit dem Taschenrechner).
| Gradmaß | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Bogenmaß | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
Achtung, Taschenrechner!
Der Taschenrechner muss zum Winkelmaß passen: DEG für Grad, RAD für Bogenmaß. $\sin(30)$ ergibt im DEG-Modus $0{,}5$, im RAD-Modus aber $-0{,}988$ – ein häufiger Fehler in Klassenarbeiten.
Der Einheitskreis
Der Einheitskreis hat den Mittelpunkt $(0 \mid 0)$ und den Radius 1. Ein Zeiger dreht sich ab der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel $\alpha$. Der Punkt $P$ auf dem Kreis hat dann die Koordinaten $P(\cos\alpha \mid \sin\alpha)$. Zieh den Punkt und beobachte, wie sich Sinus (rot) und Kosinus (grün) ändern:
- Winkel
- 150° = 2,618
- sin α
- ≈ 0,5
- cos α
- ≈ −0,866
- tan α
- ≈ −0,577
- Quadrant
- I
Besondere Winkel:
In der Nähe von Vielfachen von 15° rastet der Punkt ein. Bei 0°, 30°, 45°, 60°, 90° … erscheinen die exakten Werte.
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
- $\cos\alpha$ ist die x-Koordinate, $\sin\alpha$ die y-Koordinate des Punktes.
- $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ist die Steigung des Zeigers – für $\cos\alpha = 0$ (90°, 270°) ist er nicht definiert.
- Weil der Radius 1 ist, gilt immer $-1 \le \sin\alpha \le 1$ und $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
- Nach einer vollen Umdrehung wiederholt sich alles: $\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin\alpha$.
Im rechtwinkligen Dreieck aus Zeiger, Sinus- und Kosinusstrecke ist der Zeiger die Hypotenuse mit Länge 1. Deshalb passt das zur Definition, die Du aus der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck kennst – der Einheitskreis erweitert sie auf alle Winkel.
Vorzeichen in den vier Quadranten
Die Achsen teilen den Kreis in vier Quadranten. Das Vorzeichen von Sinus und Kosinus liest Du an der Lage des Punktes ab:
- I (0° bis 90°): rechts oben – sin und cos positiv
- II (90° bis 180°): links oben – sin positiv, cos negativ
- III (180° bis 270°): links unten – beide negativ
- IV (270° bis 360°): rechts unten – sin negativ, cos positiv
Der Tangens ist positiv, wenn sin und cos dasselbe Vorzeichen haben – also in den Quadranten I und III.
Die besonderen Werte
Für einige Winkel lassen sich Sinus, Kosinus und Tangens exakt angeben. Diese Werte kommen ständig vor – auch in Prüfungen ohne Taschenrechner.
| $\alpha$ | $0^\circ = 0$ | $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ | $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ | $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ | $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan\alpha$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | – |
Merkhilfe
Schreibe für den Sinus $\frac{\sqrt{0}}{2},\ \frac{\sqrt{1}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{4}}{2}$ – das sind genau die Werte für 0°, 30°, 45°, 60° und 90°. Beim Kosinus steht dieselbe Reihe rückwärts.
Werte für Winkel über 90°
Jeder andere Winkel gehört zu einem Bezugswinkel im ersten Quadranten. Den Betrag des Wertes liest Du dort ab, das Vorzeichen aus dem Quadranten. Am Einheitskreis sieht man diese Spiegelungen direkt:
Beispiele
- $\cos 210^\circ$: Quadrant III, Bezugswinkel $210^\circ - 180^\circ = 30^\circ$, Kosinus dort negativ: $\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- $\sin\frac{7\pi}{4} = \sin 315^\circ$: Quadrant IV, Bezugswinkel $45^\circ$, Sinus negativ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- $\sin 480^\circ = \sin(480^\circ - 360^\circ)$ $= \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Der trigonometrische Pythagoras
Im Dreieck am Einheitskreis sind $\cos\alpha$ und $\sin\alpha$ die Katheten und 1 die Hypotenuse. Der Satz des Pythagoras liefert deshalb für jeden Winkel:
Beispiel: Kosinus aus dem Sinus
Gegeben: $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ und $\alpha$ liegt im zweiten Quadranten. Dann ist $\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, also $\cos\alpha = \pm\frac{4}{5}$. Im Quadranten II ist der Kosinus negativ: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$ und $\tan\alpha = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.
Trigonometrische Gleichungen lösen
Eine Gleichung wie $\sin x = \frac{1}{2}$ hat unendlich viele Lösungen, weil sich der Sinus alle $2\pi$ wiederholt. Meist sind nur die Lösungen in einem Intervall gefragt, etwa $[0;\, 2\pi)$. Der Taschenrechner ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$) liefert aber immer nur eine Lösung – die zweite findest Du über die Symmetrie am Einheitskreis.
| Gleichung | 1. Lösung | 2. Lösung in $[0;\, 2\pi)$ | alle Lösungen ($k \in \mathbb{Z}$) |
|---|---|---|---|
| $\sin x = c$ | $x_1 = \sin^{-1}(c)$ | $x_2 = \pi - x_1$ | $x_1 + k \cdot 2\pi$ und $x_2 + k \cdot 2\pi$ |
| $\cos x = c$ | $x_1 = \cos^{-1}(c)$ | $x_2 = 2\pi - x_1$ | $x_1 + k \cdot 2\pi$ und $x_2 + k \cdot 2\pi$ |
| $\tan x = c$ | $x_1 = \tan^{-1}(c)$ | $x_2 = x_1 + \pi$ | $x_1 + k \cdot \pi$ |
Im Gradmaß ersetzt Du $\pi$ durch $180^\circ$ und $2\pi$ durch $360^\circ$. Liefert der Taschenrechner einen negativen Winkel, addierst Du $2\pi$ (bzw. $360^\circ$), um im Intervall zu landen.
Beispiel 1: $2\sin x - 1 = 0$ für $x \in [0;\, 2\pi)$
Umstellen: $\sin x = \frac{1}{2}$. Aus der Wertetabelle: $x_1 = \frac{\pi}{6}$. Zweite Lösung: $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Alle Lösungen: $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ oder $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.
Beispiel 2: $\cos x = -0{,}4$ für $x \in [0^\circ;\, 360^\circ)$
Taschenrechner (DEG): $x_1 = \cos^{-1}(-0{,}4) \approx 113{,}58^\circ$. Zweite Lösung: $x_2 = 360^\circ - 113{,}58^\circ = 246{,}42^\circ$.
Beispiel 3: $\tan x = -1$ für $x \in [0;\, 2\pi)$
$\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$ liegt nicht im Intervall. Weil sich der Tangens alle $\pi$ wiederholt, sind $x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$ und $x_2 = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$ die Lösungen.
Typische Fehler
- Nur die Taschenrechner-Lösung angeben – die zweite Lösung fehlt dann.
- $\sin x = 1{,}5$ oder $\cos x = -2$ „lösen“: Sinus und Kosinus liegen immer zwischen −1 und 1, hier gibt es keine Lösung.
- Bei $\sin x = 1$, $\sin x = -1$, $\cos x = 1$ und $\cos x = -1$ gibt es im Intervall nur eine Lösung.
- Gradmaß und Bogenmaß in derselben Rechnung mischen.
Online üben
Stufe 3: trigonometrische Gleichungen
-
Aufgabe 1
\(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2},\ x \in [0;\, 2\pi)\)\(x_1 = \frac{\pi}{3},\; x_2 = \frac{2\pi}{3}\)
-
Aufgabe 2
\(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2},\ x \in [0;\, 2\pi)\)\(x_1 = \frac{\pi}{4},\; x_2 = \frac{7\pi}{4}\)
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Aufgabe 3
\(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2},\ x \in [0^\circ;\, 360^\circ)\)\(x_1 = 45^\circ,\; x_2 = 135^\circ\)
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Aufgabe 4
\(\cos x = 1,\ x \in [0^\circ;\, 360^\circ)\)\(x = 0^\circ\)
-
Aufgabe 5
\(\sin x = 1,\ x \in [0^\circ;\, 360^\circ)\)\(x = 90^\circ\)
-
Aufgabe 6
\(\tan x = 1{,}7,\ x \in [0^\circ;\, 360^\circ)\)\(x_1 \approx 59{,}53^\circ,\; x_2 \approx 239{,}53^\circ\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Bogenmaß und Einheitskreis
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–11.
Wie die Graphen von Sinus und Kosinus aussehen und was Amplitude und Periode bedeuten, steht unter Sinus- und Kosinusfunktion. Eigene Funktionen zeichnest Du mit dem Funktionsplotter, Dreiecke berechnet der Dreiecksrechner.
Weiterlesen: Radiant (Einheit), Einheitskreis bei Wikipedia