Definitionsbereich und Wertebereich
Nicht jede Zahl darf man in jeden Funktionsterm einsetzen: Durch 0 teilen geht nicht, und die Wurzel einer negativen Zahl gibt es bei den reellen Zahlen nicht. Der Definitionsbereich $D$ sagt, welche $x$-Werte erlaubt sind. Der Wertebereich $W$ sagt, welche $y$-Werte dabei herauskommen.
Was bedeuten $D$ und $W$?
- Definitionsbereich $D$ (auch Definitionsmenge): alle Zahlen $x$, für die $f(x)$ berechnet werden kann. Im Graphen: alles, was über bzw. unter der x-Achse „belegt“ ist.
- Wertebereich $W$ (auch Wertemenge): alle Funktionswerte $f(x)$ mit $x \in D$. Im Graphen: alles, was auf der y-Achse „getroffen“ wird.
Ist nichts anderes gesagt, ist mit $D$ der größtmögliche Definitionsbereich gemeint. In Sachaufgaben kann er kleiner sein – eine Länge oder eine Zeit ist zum Beispiel nie negativ.
Drei Regeln für den Definitionsbereich
| Im Term steht … | Bedingung | Beispiel |
|---|---|---|
| ein Bruch | Nenner $\neq 0$ | $f(x) = \frac{3}{x - 2}$: $\ D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ |
| eine (Quadrat-)Wurzel | Inhalt $\ge 0$ | $f(x) = \sqrt{x + 4}$: $\ x \ge -4$, also $D = [-4;\,\infty[$ |
| ein Logarithmus | Inhalt $> 0$ | $f(x) = \ln(5 - x)$: $\ x < 5$, also $D = ]-\infty;\,5[$ |
Ganzrationale Funktionen, $e^x$, $\sin(x)$ und $\cos(x)$ sind für alle reellen Zahlen definiert: $D = \mathbb{R}$. Eine Wurzel im Nenner verlangt beides zugleich – der Inhalt muss dann echt positiv sein.
Intervallschreibweise
| Schreibweise | bedeutet |
|---|---|
| $[a;\,b]$ | $a \le x \le b$ – beide Grenzen gehören dazu (geschlossen) |
| $]a;\,b[$ | $a < x < b$ – keine Grenze gehört dazu (offen) |
| $[a;\,\infty[$ | $x \ge a$ (bei $\infty$ steht immer eine offene Klammer) |
| $A \cup B$ | „$A$ vereinigt mit $B$“: $x$ liegt in $A$ oder in $B$ |
| $\mathbb{R} \setminus \{a\}$ | alle reellen Zahlen außer $a$ |
Statt $]a;\,b[$ schreiben manche Bücher $(a;\,b)$. Auf dem Zahlenstrahl zeigt ein voller Punkt „gehört dazu“, ein leerer „gehört nicht dazu“.
Beispiel 1: $f(x) = \ln(4 - x^2)$
Bedingung $4 - x^2 > 0$, also $x^2 < 4$: Das gilt genau für $-2 < x < 2$. $\ D = ]-2;\,2[$
Beispiel 2: $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$
Bedingung $x^2 - 9 \ge 0$, also $x^2 \ge 9$: Das gilt für $x \le -3$ oder $x \ge 3$. $\ D = ]-\infty;\,-3] \cup [3;\,\infty[$
Mehrere Bedingungen gleichzeitig
Beispiel: $f(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$
Wurzel: $x + 2 \ge 0$, also $x \ge -2$. Nenner: $x - 1 \neq 0$, also $x \neq 1$. Beide Bedingungen müssen erfüllt sein:
$D = [-2;\,1[\ \cup\ ]1;\,\infty[$
Quadratische Bedingungen wie $x^2 - 9 \ge 0$ löst Du am sichersten mit den Nullstellen und einer Vorzeichenbetrachtung – siehe quadratische Ungleichungen.
Wertebereich bestimmen
Für den Wertebereich gibt es kein Rezept für alle Fälle, aber diese Ideen helfen fast immer:
- Scheitelpunkt: $f(x) = (x - 3)^2 + 1$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitel $(3 \mid 1)$. Kleinster Wert 1, nach oben unbegrenzt: $W = [1;\,\infty[$.
- Asymptote: $f(x) = e^x - 2$: $e^x$ nimmt alle positiven Werte an, aber nie 0. Also $W = ]-2;\,\infty[$ – die Gerade $y = -2$ wird nie erreicht.
- Lücken: $f(x) = \frac{1}{x}$ nimmt jeden Wert außer 0 an: $W = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
- Knick: $f(x) = -|x| + 4$ hat den höchsten Wert 4 im Knickpunkt: $W = ]-\infty;\,4]$ (siehe Betragsfunktion).
- Am Graphen ablesen: Projiziere den Graphen auf die y-Achse. Ein Funktionsplotter hilft beim Überprüfen.
Monotoniebereiche
In welchen Bereichen ein Graph steigt oder fällt, beantwortet die Ableitung: Wo $f'(x) > 0$ ist, steigt $f$ streng monoton, wo $f'(x) < 0$ ist, fällt $f$ streng monoton.
Beispiel: $f(x) = x^3 - 3x$
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ hat die Nullstellen $-1$ und $1$. Testwerte: $f'(-2) = 9 > 0$, $f'(0) = -3 < 0$, $f'(2) = 9 > 0$.
Also ist $f'(x) < 0$ für $x \in\ ]-1;\,1[$ – dort fällt $f$. Für $x < -1$ und für $x > 1$ steigt $f$.
Ob man die Randpunkte $-1$ und $1$ zu den Monotoniebereichen dazuzählt, handhaben Schulbücher unterschiedlich – an diesen Stellen ist $f' = 0$. In den Übungen fragen wir deshalb eindeutig nach dem Bereich, in dem $f'(x) < 0$ bzw. $f'(x) > 0$ ist. Mehr dazu bei Monotonie und Krümmung.
Online üben
Antworte in Intervallschreibweise, zum Beispiel ]-∞; 3], [2; ∞[ oder ]-2; 2[, oder mit Ungleichungen wie x ≤ 3 bzw. x < -2 oder x > 2. Für „alle Zahlen außer 2“ geht auch R\{2}.
Stufe 3: Monotonie mit f′
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Aufgabe 1
\(f(x) = -x^{2} + 6x + 5:\ f'(x) < 0\) für welche x? (dort fällt f streng monoton)\(L =\)\(f'(x) = -2x + 6\) \(= 0\ \text{bei}\ x\) \(= 3\) \(\Rightarrow\ L = ]3;\) \(\infty[\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = 2x^{2} + 8x + 3:\ f'(x) > 0\) für welche x? (dort steigt f streng monoton)\(L =\)\(f'(x) = 4x + 8\) \(= 0\ \text{bei}\ x\) \(= -2\) \(\Rightarrow\ L = ]-2;\) \(\infty[\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x - 4:\ f'(x) < 0\) für welche x? (dort fällt f streng monoton)\(L =\)\(f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9\) \(= 3(x + 1)(x - 3)\) \(\Rightarrow\ L = ]-1;\) \(3[\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = -x^{2} + 8x - 3:\ f'(x) < 0\) für welche x? (dort fällt f streng monoton)\(L =\)\(f'(x) = -2x + 8\) \(= 0\ \text{bei}\ x\) \(= 4\) \(\Rightarrow\ L = ]4;\) \(\infty[\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 2:\ f'(x) < 0\) für welche x? (dort fällt f streng monoton)\(L =\)\(f'(x) = 3x^{2} + 6x\) \(= 3(x + 2)x\) \(\Rightarrow\ L = ]-2;\) \(0[\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x - 3:\ f'(x) < 0\) für welche x? (dort fällt f streng monoton)\(L =\)\(f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9\) \(= 3(x + 1)(x - 3)\) \(\Rightarrow\ L = ]-1;\) \(3[\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Definitions-, Werte- und Monotoniebereiche
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Passende Seiten: ln-Funktion, gebrochenrationale Funktionen, Wurzelgleichungen und Umkehrfunktion (dort werden $D$ und $W$ vertauscht).
Weiterlesen: Definitionsmenge, Wertemenge, Intervall (Mathematik) bei Wikipedia