Tarifvergleich: Welcher Tarif lohnt sich?
Viele Preise bestehen aus einem festen Betrag und einem Preis pro Einheit: Grundgebühr plus Minutenpreis, Grundpreis plus Preis pro kWh, Aufnahmegebühr plus Monatsbeitrag. Solche Kosten sind lineare Funktionen – und der Vergleich zweier Tarife ist die Frage nach dem Schnittpunkt zweier Geraden.
Die Kostenfunktion
Ist $x$ die Anzahl der Einheiten (Minuten, kWh, km, Monate …), dann gilt
$K(x) = \text{fester Betrag} + \text{Preis pro Einheit} \cdot x$
Der feste Betrag ist der y-Achsenabschnitt, der Preis pro Einheit die Steigung. Achte auf die Einheiten: Ein Minutenpreis von 9 ct ist $0{,}09$ €.
Beispiel: Handytarif A kostet 5 € im Monat und 9 ct pro Minute, Tarif B kostet 15 € im Monat und 4 ct pro Minute.
$K_A(x) = 5 + 0{,}09x \qquad K_B(x) = 15 + 0{,}04x$
Bei 100 Minuten: $K_A(100) = 14$ € und $K_B(100) = 19$ € – Tarif A ist günstiger. Bei 300 Minuten: $K_A(300) = 32$ € und $K_B(300) = 27$ € – jetzt ist B günstiger.
Der Schnittpunkt: Wann kosten beide gleich viel?
Setze die beiden Kostenfunktionen gleich und löse nach $x$ auf:
$\begin{aligned} 5 + 0{,}09x &= 15 + 0{,}04x &&\mid -0{,}04x - 5 \\ 0{,}05x &= 10 &&\mid : 0{,}05 \\ x &= 200 \end{aligned}$
Bei 200 Minuten zahlst Du bei beiden Tarifen 23 €. Links vom Schnittpunkt ist der Tarif mit dem kleineren festen Betrag günstiger (hier A), rechts davon der mit dem kleineren Preis pro Einheit (hier B).
In der Grafik ist das der Punkt, an dem sich die beiden Geraden kreuzen. Mehr zum Rechnen mit Geraden findest Du beim Schnittpunkt zweier Geraden.
„Ab wann lohnt sich …?“ – ganze Einheiten
Oft kommt beim Gleichsetzen keine ganze Zahl heraus. Werden nur ganze Minuten, Monate oder Stück abgerechnet, musst Du runden – und zwar passend zur Frage:
Ein Fitnessstudio A verlangt 49 € Aufnahmegebühr und 25 € im Monat, Studio B keine Aufnahmegebühr, aber 32 € im Monat.
$49 + 25x = 32x \Rightarrow 7x = 49 \Rightarrow x = 7$. Nach 7 Monaten ist es gleich teuer (224 €). Günstiger ist A erst ab dem 8. Monat.
Hätte die Rechnung $x \approx 7{,}4$ ergeben, wäre A ab 8 Monaten günstiger: aufrunden.
Ein Spezialfall ist die Flatrate: Sie hat nur einen festen Betrag, ihr Graph ist eine waagrechte Gerade. Und eine Jahreskarte im Schwimmbad lohnt sich, sobald die Einzeleintritte zusammen mehr kosten als die Karte.
Tarifrechner
Gib die festen Kosten und den Preis pro Einheit in Euro ein (9 ct = 0,09). Tarif C ist freiwillig. Mit einem Verbrauch berechnet der Rechner zusätzlich die Kosten für genau diesen Fall.
Online üben
Rechne Cent in Euro um und gib Beträge mit Komma ein, z. B. 23,50. Bei „Welcher Tarif …?“ antwortest Du mit A oder B.
Stufe 3: Ab wann lohnt es sich?
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Aufgabe 1
Druckerei A: 2,50 € Einrichtungskosten und 20 ct pro Stück. Druckerei B verlangt nur 16 ct pro Stück. Wie hoch darf der feste Betrag (Einrichtungskosten) von B höchstens sein, damit B bei 500 Stück nicht teurer ist als A?€A kostet 102,50 €, B ohne festen Betrag 80,00 € → höchstens 22,50 €
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Aufgabe 2
Carsharing-Anbieter A: 5,00 € pro Tag und 10 ct pro Kilometer. Carsharing-Anbieter B: 7,60 € pro Tag und 9 ct pro Kilometer. Ab wie vielen km ist Tarif B günstiger als Tarif A? (Es werden nur ganze km abgerechnet.)kmGleich teuer bei x = 2,60 € : 1 ct = 260. B ist günstiger ab 261 km.
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Aufgabe 3
Stromtarif A: 4,00 € Grundpreis im Monat und 34 ct pro kWh. Stromtarif B verlangt nur 26 ct pro kWh. Wie hoch darf der Grundpreis von B höchstens sein, damit B bei 180 kWh nicht teurer ist als A?€A kostet 65,20 €, B ohne festen Betrag 46,80 € → höchstens 18,40 €
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Aufgabe 4
Ein Besuch im Schwimmbad kostet 3,00 €, eine Jahreskarte 130,00 €. Ab wie vielen Besuchen im Jahr ist die Jahreskarte günstiger?Besuche130,00 € : 3,00 € ≈ 43,33 → ab 44 Besuchen
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Aufgabe 5
Ein Besuch im Schwimmbad kostet 6,00 €, eine Jahreskarte 375,00 €. Ab wie vielen Besuchen im Jahr ist die Jahreskarte günstiger?Besuche375,00 € : 6,00 € = 62,5 → ab 63 Besuchen
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Tarife vergleichen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–9.
Lineare Gleichungen wie $5 + 0{,}09x = 15 + 0{,}04x$ übst Du bei den linearen Gleichungen. Weitere Sachaufgaben aus dem Alltag findest Du bei Prozent im Alltag und in der Mischungsrechnung.
Weiterlesen: Lineare Funktion bei Wikipedia