Tarifvergleich: Welcher Tarif lohnt sich?
Viele Preise bestehen aus einem festen Betrag und einem Preis pro Einheit: Grundgebühr plus Minutenpreis, Grundpreis plus Preis pro kWh, Aufnahmegebühr plus Monatsbeitrag. Solche Kosten sind lineare Funktionen – und der Vergleich zweier Tarife ist die Frage nach dem Schnittpunkt zweier Geraden.
Die Kostenfunktion
Ist $x$ die Anzahl der Einheiten (Minuten, kWh, km, Monate …), dann gilt
$K(x) = \text{fester Betrag} + \text{Preis pro Einheit} \cdot x$
Der feste Betrag ist der y-Achsenabschnitt, der Preis pro Einheit die Steigung. Achte auf die Einheiten: Ein Minutenpreis von 9 ct ist $0{,}09$ €.
Beispiel: Handytarif A kostet 5 € im Monat und 9 ct pro Minute, Tarif B kostet 15 € im Monat und 4 ct pro Minute.
$K_A(x) = 5 + 0{,}09x \qquad K_B(x) = 15 + 0{,}04x$
Bei 100 Minuten: $K_A(100) = 14$ € und $K_B(100) = 19$ € – Tarif A ist günstiger. Bei 300 Minuten: $K_A(300) = 32$ € und $K_B(300) = 27$ € – jetzt ist B günstiger.
Der Schnittpunkt: Wann kosten beide gleich viel?
Setze die beiden Kostenfunktionen gleich und löse nach $x$ auf:
$\begin{aligned} 5 + 0{,}09x &= 15 + 0{,}04x &&\mid -0{,}04x - 5 \\ 0{,}05x &= 10 &&\mid : 0{,}05 \\ x &= 200 \end{aligned}$
Bei 200 Minuten zahlst Du bei beiden Tarifen 23 €. Links vom Schnittpunkt ist der Tarif mit dem kleineren festen Betrag günstiger (hier A), rechts davon der mit dem kleineren Preis pro Einheit (hier B).
In der Grafik ist das der Punkt, an dem sich die beiden Geraden kreuzen. Mehr zum Rechnen mit Geraden findest Du beim Schnittpunkt zweier Geraden.
„Ab wann lohnt sich …?“ – ganze Einheiten
Oft kommt beim Gleichsetzen keine ganze Zahl heraus. Werden nur ganze Minuten, Monate oder Stück abgerechnet, musst Du runden – und zwar passend zur Frage:
Ein Fitnessstudio A verlangt 49 € Aufnahmegebühr und 25 € im Monat, Studio B keine Aufnahmegebühr, aber 32 € im Monat.
$49 + 25x = 32x \Rightarrow 7x = 49 \Rightarrow x = 7$. Nach 7 Monaten ist es gleich teuer (224 €). Günstiger ist A erst ab dem 8. Monat.
Hätte die Rechnung $x \approx 7{,}4$ ergeben, wäre A ab 8 Monaten günstiger: aufrunden.
Ein Spezialfall ist die Flatrate: Sie hat nur einen festen Betrag, ihr Graph ist eine waagrechte Gerade. Und eine Jahreskarte im Schwimmbad lohnt sich, sobald die Einzeleintritte zusammen mehr kosten als die Karte.
Tarifrechner
Gib die festen Kosten und den Preis pro Einheit in Euro ein (9 ct = 0,09). Tarif C ist freiwillig. Mit einem Verbrauch berechnet der Rechner zusätzlich die Kosten für genau diesen Fall.
Online üben
Rechne Cent in Euro um und gib Beträge mit Komma ein, z. B. 23,50. Bei „Welcher Tarif …?“ antwortest Du mit A oder B.
Stufe 2: Schnittpunkt und Vergleich
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Aufgabe 1
Handytarif A: 9,00 € Grundgebühr im Monat und 16 ct pro Minute. Handytarif B: 12,60 € Grundgebühr im Monat und 12 ct pro Minute. Bei wie vielen Minuten kosten beide Tarife gleich viel?min9,00 € + 16 ct · x = 12,60 € + 12 ct · x → 4 ct · x = 3,60 € → x = 90 Minuten
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Aufgabe 2
Carsharing-Anbieter A: 5,50 € pro Tag und 10 ct pro Kilometer. Carsharing-Anbieter B: 11,30 € pro Tag und 8 ct pro Kilometer. Bei wie vielen km kosten beide Tarife gleich viel?km5,50 € + 10 ct · x = 11,30 € + 8 ct · x → 2 ct · x = 5,80 € → x = 290 km
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Aufgabe 3
Carsharing-Anbieter A: 7,00 € pro Tag und 18 ct pro Kilometer. Carsharing-Anbieter B: 23,20 € pro Tag und 12 ct pro Kilometer. Welcher Tarif ist bei 130 km günstiger? Antworte mit A oder B.A: 30,40 €, B: 38,80 € → Tarif A
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Aufgabe 4
Handytarif A: 3,50 € Grundgebühr im Monat und 11 ct pro Minute. Handytarif B: 13,90 € Grundgebühr im Monat und 3 ct pro Minute. Um wie viel Euro unterscheiden sich die Kosten bei 40 Minuten?€A: 7,90 €, B: 15,10 € → Unterschied 7,20 €
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Aufgabe 5
Stromtarif A: 8,00 € Grundpreis im Monat und 38 ct pro kWh. Stromtarif B: 24,00 € Grundpreis im Monat und 33 ct pro kWh. Bei wie vielen kWh kosten beide Tarife gleich viel?kWh8,00 € + 38 ct · x = 24,00 € + 33 ct · x → 5 ct · x = 16,00 € → x = 320 kWh
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Tarife vergleichen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–9.
Lineare Gleichungen wie $5 + 0{,}09x = 15 + 0{,}04x$ übst Du bei den linearen Gleichungen. Weitere Sachaufgaben aus dem Alltag findest Du bei Prozent im Alltag und in der Mischungsrechnung.
Weiterlesen: Lineare Funktion bei Wikipedia