Tarifvergleich: Welcher Tarif lohnt sich?
Viele Preise bestehen aus einem festen Betrag und einem Preis pro Einheit: Grundgebühr plus Minutenpreis, Grundpreis plus Preis pro kWh, Aufnahmegebühr plus Monatsbeitrag. Solche Kosten sind lineare Funktionen – und der Vergleich zweier Tarife ist die Frage nach dem Schnittpunkt zweier Geraden.
Die Kostenfunktion
Ist $x$ die Anzahl der Einheiten (Minuten, kWh, km, Monate …), dann gilt
$K(x) = \text{fester Betrag} + \text{Preis pro Einheit} \cdot x$
Der feste Betrag ist der y-Achsenabschnitt, der Preis pro Einheit die Steigung. Achte auf die Einheiten: Ein Minutenpreis von 9 ct ist $0{,}09$ €.
Beispiel: Handytarif A kostet 5 € im Monat und 9 ct pro Minute, Tarif B kostet 15 € im Monat und 4 ct pro Minute.
$K_A(x) = 5 + 0{,}09x \qquad K_B(x) = 15 + 0{,}04x$
Bei 100 Minuten: $K_A(100) = 14$ € und $K_B(100) = 19$ € – Tarif A ist günstiger. Bei 300 Minuten: $K_A(300) = 32$ € und $K_B(300) = 27$ € – jetzt ist B günstiger.
Der Schnittpunkt: Wann kosten beide gleich viel?
Setze die beiden Kostenfunktionen gleich und löse nach $x$ auf:
$\begin{aligned} 5 + 0{,}09x &= 15 + 0{,}04x &&\mid -0{,}04x - 5 \\ 0{,}05x &= 10 &&\mid : 0{,}05 \\ x &= 200 \end{aligned}$
Bei 200 Minuten zahlst Du bei beiden Tarifen 23 €. Links vom Schnittpunkt ist der Tarif mit dem kleineren festen Betrag günstiger (hier A), rechts davon der mit dem kleineren Preis pro Einheit (hier B).
In der Grafik ist das der Punkt, an dem sich die beiden Geraden kreuzen. Mehr zum Rechnen mit Geraden findest Du beim Schnittpunkt zweier Geraden.
„Ab wann lohnt sich …?“ – ganze Einheiten
Oft kommt beim Gleichsetzen keine ganze Zahl heraus. Werden nur ganze Minuten, Monate oder Stück abgerechnet, musst Du runden – und zwar passend zur Frage:
Ein Fitnessstudio A verlangt 49 € Aufnahmegebühr und 25 € im Monat, Studio B keine Aufnahmegebühr, aber 32 € im Monat.
$49 + 25x = 32x \Rightarrow 7x = 49 \Rightarrow x = 7$. Nach 7 Monaten ist es gleich teuer (224 €). Günstiger ist A erst ab dem 8. Monat.
Hätte die Rechnung $x \approx 7{,}4$ ergeben, wäre A ab 8 Monaten günstiger: aufrunden.
Ein Spezialfall ist die Flatrate: Sie hat nur einen festen Betrag, ihr Graph ist eine waagrechte Gerade. Und eine Jahreskarte im Schwimmbad lohnt sich, sobald die Einzeleintritte zusammen mehr kosten als die Karte.
Tarifrechner
Gib die festen Kosten und den Preis pro Einheit in Euro ein (9 ct = 0,09). Tarif C ist freiwillig. Mit einem Verbrauch berechnet der Rechner zusätzlich die Kosten für genau diesen Fall.
Online üben
Rechne Cent in Euro um und gib Beträge mit Komma ein, z. B. 23,50. Bei „Welcher Tarif …?“ antwortest Du mit A oder B.
Stufe 1: Kosten berechnen
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Aufgabe 1
Fitnessstudio A: 4,00 € Aufnahmegebühr und 30,00 € im Monat. Fitnessstudio B: 204,00 € Aufnahmegebühr und 20,00 € im Monat. Bei wie vielen Monaten kosten beide Tarife gleich viel?Monate4,00 € + 30,00 € · x = 204,00 € + 20,00 € · x → 10,00 € · x = 200,00 € → x = 20 Monate
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Aufgabe 2
Fitnessstudio A: 6,50 € Aufnahmegebühr und 31,00 € im Monat. Fitnessstudio B: 26,50 € Aufnahmegebühr und 26,00 € im Monat. Wie viel kostet Tarif B bei 22 Monaten?€K = 26,50 € + 22 · 26,00 € = 598,50 €
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Aufgabe 3
Fitnessstudio A: 2,50 € Aufnahmegebühr und 32,00 € im Monat. Fitnessstudio B: 242,50 € Aufnahmegebühr und 22,00 € im Monat. Wie viel kostet Tarif B bei 12 Monaten?€K = 242,50 € + 12 · 22,00 € = 506,50 €
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Aufgabe 4
Taxiunternehmen A: 5,00 € Grundgebühr und 4,30 € pro Kilometer. Taxiunternehmen B: 16,60 € Grundgebühr und 3,90 € pro Kilometer. Bei wie vielen km kosten beide Tarife gleich viel?km5,00 € + 4,30 € · x = 16,60 € + 3,90 € · x → 0,40 € · x = 11,60 € → x = 29 km
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Aufgabe 5
Handytarif A: 0,50 € Grundgebühr im Monat und 20 ct pro Minute. Handytarif B: 8,50 € Grundgebühr im Monat und 15 ct pro Minute. Wie viel kostet Tarif B bei 290 Minuten?€K = 8,50 € + 290 · 15 ct = 52,00 €
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Tarife vergleichen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–9.
Lineare Gleichungen wie $5 + 0{,}09x = 15 + 0{,}04x$ übst Du bei den linearen Gleichungen. Weitere Sachaufgaben aus dem Alltag findest Du bei Prozent im Alltag und in der Mischungsrechnung.
Weiterlesen: Lineare Funktion bei Wikipedia