Dreiecke: Arten, Winkel und Seiten
Ein Dreieck hat drei Ecken, drei Seiten und drei Winkel. Hier lernst Du, wie man Dreiecke nach ihren Seiten und Winkeln einteilt, wie groß die Winkel zusammen sind, was ein Außenwinkel ist und wann es ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten überhaupt gibt. Erste Dreiecke erkennen kannst Du auf der Seite Ebene Figuren, Winkel messen erklärt die Seite Winkel.
Bezeichnungen im Dreieck
Die Ecken heißen meist A, B und C – gegen den Uhrzeigersinn. Jede Seite bekommt den kleinen Buchstaben der Ecke, die ihr gegenüberliegt: Die Seite $a$ verbindet B und C, die Seite $b$ verbindet A und C, die Seite $c$ verbindet A und B. Die Winkel heißen $\alpha$ (alpha) bei A, $\beta$ (beta) bei B und $\gamma$ (gamma) bei C.
Dreiecksarten nach den Seiten
Im gleichschenkligen Dreieck heißen die beiden gleich langen Seiten Schenkel, die dritte heißt Basis. Die Winkel an der Basis, die Basiswinkel, sind gleich groß. Ein gleichseitiges Dreieck ist ein besonderes gleichschenkliges Dreieck: Seine drei Winkel sind alle $60^\circ$ groß.
Dreiecksarten nach den Winkeln
Merke: Entscheidend ist der größte Winkel
Ist der größte Winkel kleiner als $90^\circ$, ist das Dreieck spitzwinklig; ist er genau $90^\circ$, rechtwinklig; ist er größer als $90^\circ$, stumpfwinklig. Mehr als einen rechten oder stumpfen Winkel kann ein Dreieck nicht haben – sonst wäre die Winkelsumme schon zu groß.
Beide Einteilungen kannst Du kombinieren. Fast alles kommt vor – nur ein gleichseitiges Dreieck ist immer spitzwinklig:
| spitzwinklig | rechtwinklig | stumpfwinklig | |
|---|---|---|---|
| gleichseitig | ✓ (immer) | – | – |
| gleichschenklig | ✓ | ✓ (Geodreieck) | ✓ |
| unregelmäßig | ✓ | ✓ | ✓ |
Winkelsumme
In jedem Dreieck ergeben die drei Innenwinkel zusammen $180^\circ$. Warum das so ist, zeigt die Seite Winkel mit einer Parallelen durch C.
Beispiel: zwei Winkel gegeben
$\alpha = 48^\circ$ und $\beta = 67^\circ$. Dann ist $\gamma = 180^\circ - 48^\circ - 67^\circ = 65^\circ$. Der größte Winkel ist $67^\circ$, also ist das Dreieck spitzwinklig.
Außenwinkel
Verlängerst Du eine Seite über eine Ecke hinaus, entsteht dort ein Außenwinkel. Er ergänzt den Innenwinkel an dieser Ecke zu $180^\circ$ (Nebenwinkel): $\beta' = 180^\circ - \beta$.
Außenwinkelsatz
Jeder Außenwinkel ist so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen:
Begründung: $\beta' = 180^\circ - \beta$ und $\alpha + \gamma = 180^\circ - \beta$. Die drei Außenwinkel (an jeder Ecke einer) ergeben zusammen $360^\circ$.
Beispiel
$\alpha = 55^\circ$, $\gamma = 85^\circ$. Der Außenwinkel bei B ist $\beta' = 55^\circ + 85^\circ = 140^\circ$, der Innenwinkel $\beta = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
Dreiecksungleichung: Ist das Dreieck möglich?
Nicht aus jeden drei Strecken lässt sich ein Dreieck legen. Sind zwei Strecken zusammen zu kurz, erreichen sie sich über der dritten nicht.
Merke: Dreiecksungleichung
Je zwei Seiten sind zusammen länger als die dritte Seite:
Es reicht, die beiden kürzeren Seiten zu addieren und mit der längsten zu vergleichen.
Beispiele
- 3 cm, 4 cm, 6 cm: $3 + 4 = 7 > 6$ – das Dreieck gibt es.
- 3 cm, 4 cm, 8 cm: $3 + 4 = 7 < 8$ – kein Dreieck, die Kreisbögen treffen sich nicht.
- 3 cm, 4 cm, 7 cm: $3 + 4 = 7$ – kein echtes Dreieck, alle drei Ecken lägen auf einer Linie.
Sind zwei Seiten gegeben, liegt die dritte immer zwischen ihrer Differenz und ihrer Summe: Mit $a = 5$ cm und $b = 8$ cm muss $3\,\text{cm} < c < 13\,\text{cm}$ sein.
Größte Seite und größter Winkel
Im Dreieck liegt der größten Seite der größte Winkel gegenüber und der kürzesten Seite der kleinste Winkel. Gleich lange Seiten haben gleich große Gegenwinkel – deshalb sind die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck gleich.
Beispiel
$\alpha = 40^\circ$, $\beta = 75^\circ$, also $\gamma = 65^\circ$. Der größte Winkel ist $\beta$, also ist $b$ die längste Seite; der kleinste Winkel ist $\alpha$, also ist $a$ die kürzeste.
Typische Fehler
- Seiten und Ecken vertauscht: Die Seite $a$ liegt der Ecke A gegenüber, sie berührt A nicht.
- Bei der Dreiecksungleichung „größer oder gleich“ zulassen – bei Gleichheit gibt es kein Dreieck.
- Den Außenwinkel mit dem Nebenwinkel verwechseln, der innen liegt.
- Ein Dreieck nach nur einem Winkel einteilen, ohne den dritten auszurechnen.
- Glauben, ein gleichseitiges Dreieck sei kein gleichschenkliges.
Wie Du Dreiecke aus drei Stücken konstruierst, zeigen die Konstruktionen, wann zwei Dreiecke gleich sind, die Kongruenzsätze. Höhen, Seitenhalbierende und Umkreis findest Du unter Besondere Linien im Dreieck, rechtwinklige Dreiecke beim Satz des Pythagoras. Alle Seiten und Winkel aus drei Angaben berechnet der Dreiecksrechner.
Online üben
Stufe 1: Dreiecksarten. Stufe 2: Winkelsumme und Außenwinkel. Stufe 3: Dreiecksungleichung und längste Seite.
Stufe 3: Dreiecksungleichung und größte Seite
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Aufgabe 1
\(\alpha = 91^\circ,\) \(\beta = 52^\circ:\) Welche Seite ist am längsten?\(\gamma = 37^\circ;\) \(a\) (gegenüber von \(\alpha)\)
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Aufgabe 2
\(a = 10\text{ cm},\) \(b = 4\text{ cm},\) \(c = 8{,}5\text{ cm}:\) Dreieck möglich?\(\text{ja: } 4 + 8{,}5 = 12{,}5 > 10\)
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Aufgabe 3
\(a = 8\text{ cm},\) \(b = 12\text{ cm},\) \(c = 2\text{ cm}:\) Dreieck möglich?\(\text{nein: } 2 + 8 = 10 < 12\)
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Aufgabe 4
\(\alpha = 39^\circ,\) \(\beta = 61^\circ:\) Welche Seite ist am längsten?\(\gamma = 80^\circ;\) \(c\) (gegenüber von \(\gamma)\)
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Aufgabe 5
Gibt es ein Dreieck mit \(\alpha = 57^\circ \text{ und } \beta = 82^\circ?\)\(\text{ja: } \gamma = 41^\circ\)
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Aufgabe 6
Gibt es ein Dreieck mit \(\alpha = 36^\circ \text{ und } \beta = 43^\circ?\)\(\text{ja: } \gamma = 101^\circ\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Dreiecke: Arten, Winkel und Dreiecksungleichung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 5–7.
Weiterlesen: Dreieck, Dreiecksungleichung bei Wikipedia