Haus der Vierecke
Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Drachen, Trapez und gleichschenkliges Trapez – jedes dieser Vierecke hat eigene Eigenschaften. Im Haus der Vierecke siehst Du, wie sie zusammenhängen: Ein Quadrat ist zum Beispiel auch ein Rechteck, eine Raute und ein Drachen. Wie Du Vierecke in der Grundschule erkennst, zeigt die Seite Ebene Figuren.
Die sieben besonderen Vierecke
In den Bildern sind die Diagonalen blau gestrichelt und die Symmetrieachsen orange gepunktet.
alle Seiten gleich, alle Winkel 90°, 4 Symmetrieachsen
Gegenseiten gleich und parallel, alle Winkel 90°
alle Seiten gleich, Diagonalen senkrecht
Gegenseiten gleich und parallel, punktsymmetrisch
zwei Paare gleich langer Nachbarseiten
ein Paar paralleler Seiten, gleich lange Schenkel
mindestens ein Paar paralleler Seiten
- Trapez: mindestens ein Paar paralleler Seiten. Die parallelen Seiten heißen Grundseiten, die anderen beiden Schenkel.
- Gleichschenkliges Trapez: ein Trapez mit einer Symmetrieachse durch die Mitten der beiden Grundseiten – die Schenkel sind gleich lang, die Winkel an einer Grundseite gleich groß.
- Parallelogramm: beide Paare gegenüberliegender Seiten sind parallel.
- Drachen (Drachenviereck): zwei Paare gleich langer Nachbarseiten; eine Diagonale ist Symmetrieachse.
- Raute (Rhombus): alle vier Seiten gleich lang.
- Rechteck: alle vier Winkel sind rechte Winkel.
- Quadrat: alle Seiten gleich lang und alle Winkel rechte Winkel.
Eigenschaften im Überblick
Ein Haken bedeutet: Die Eigenschaft gilt bei jedem Viereck dieser Art. Ein Strich bedeutet: Sie gilt nicht immer – bei manchen schon, aber eben nicht bei allen.
| Eigenschaft | Quadrat | Rechteck | Raute | Parallelogramm | Drachen | gl. Trapez | Trapez |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| alle vier Seiten gleich lang | ✓ | – | ✓ | – | – | – | – |
| beide Paare Gegenseiten gleich lang | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | – | – | – |
| beide Paare Gegenseiten parallel | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | – | – | – |
| mindestens zwei Seiten parallel | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | – | ✓ | ✓ |
| alle Winkel 90° | ✓ | ✓ | – | – | – | – | – |
| beide Paare Gegenwinkel gleich groß | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | – | – | – |
| mindestens zwei Gegenwinkel gleich groß | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | – | – |
| Diagonalen gleich lang | ✓ | ✓ | – | – | – | ✓ | – |
| Diagonalen senkrecht zueinander | ✓ | – | ✓ | – | ✓ | – | – |
| Diagonalen halbieren sich gegenseitig | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | – | – | – |
| mindestens eine Symmetrieachse | ✓ | ✓ | ✓ | – | ✓ | ✓ | – |
| eine Diagonale ist Symmetrieachse | ✓ | – | ✓ | – | ✓ | – | – |
| punktsymmetrisch | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | – | – | – |
| je zwei Nachbarwinkel ergeben 180° | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | – | – | – |
| zwei Paare gleich langer Nachbarseiten | ✓ | – | ✓ | – | ✓ | – | – |
| zwei gleich große Winkel an einer Seite | ✓ | ✓ | – | – | – | ✓ | – |
Tipp: „gilt immer?“ prüfen
Denk an das ungewöhnlichste Beispiel: ein ganz schiefes Parallelogramm, eine flache Raute, einen schmalen Drachen. Findest Du ein einziges Gegenbeispiel, gilt die Eigenschaft nicht immer.
Das Haus der Vierecke
Jedes Viereck hat alle Eigenschaften der Vierecke, die im Haus unter ihm stehen und mit ihm verbunden sind. Je weiter oben ein Viereck steht, desto mehr Eigenschaften hat es.
Merke
- Jedes Quadrat ist ein Rechteck und eine Raute.
- Jedes Rechteck und jede Raute ist ein Parallelogramm.
- Jede Raute ist auch ein Drachen.
- Jedes Rechteck ist ein gleichschenkliges Trapez, jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
- Umgekehrt gilt das nicht: Nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.
Achtung: Definitionen in Schulbüchern
Manche Bücher nennen ein Trapez schon dann gleichschenklig, wenn die Schenkel gleich lang sind – dann wäre auch jedes Parallelogramm ein gleichschenkliges Trapez. Hier gilt: Ein gleichschenkliges Trapez hat eine Symmetrieachse. Drachen sind hier immer konvex (keine Ecke zeigt nach innen). Halte Dich in Klassenarbeiten an die Definition aus Deinem Unterricht.
Zuordnungsübung: Welches Viereck ist das?
Wähle für jede Figur den genauesten Namen. Zähle dazu die Kästchen: Sind Seiten parallel oder gleich lang? Gibt es rechte Winkel?
Lösungen zeigen
- Raute
- Drachen
- Trapez
- Parallelogramm
- Quadrat
- gleichschenkliges Trapez
Viereck mit Koordinaten bestimmen
Beispiel: A(1 | 1), B(7 | 1), C(6 | 4), D(2 | 4)
- Parallele Seiten? AB geht 6 nach rechts, DC geht 4 nach rechts – beide waagerecht, also $AB \parallel CD$. BC (1 nach links, 3 nach oben) und AD (1 nach rechts, 3 nach oben) sind nicht parallel. Es ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm.
- Gleich lange Schenkel? $\overline{BC} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ und $\overline{AD} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
- Symmetrieachse? Die Gerade $x = 4$ geht durch die Mitten von AB und CD und spiegelt A auf B und D auf C.
- Ergebnis: ein gleichschenkliges Trapez.
Wie Du Längen mit Koordinaten berechnest, zeigt der Satz des Pythagoras; Punkte einzeichnen erklärt das Koordinatensystem.
Winkel in besonderen Vierecken
In jedem Viereck ist die Winkelsumme $360^\circ$ (siehe Winkel). Die Ecken heißen A, B, C, D gegen den Uhrzeigersinn, die Winkel $\alpha, \beta, \gamma, \delta$.
| Viereck | Winkelregeln |
|---|---|
| Parallelogramm, Raute | $\alpha = \gamma$, $\beta = \delta$, $\alpha + \beta = 180^\circ$ |
| Rechteck, Quadrat | alle vier Winkel $90^\circ$ |
| Trapez ($AB \parallel CD$) | $\alpha + \delta = 180^\circ$, $\beta + \gamma = 180^\circ$ |
| gleichschenkliges Trapez | zusätzlich $\alpha = \beta$ und $\gamma = \delta$ |
| Drachen (Achse AC) | $\beta = \delta$, also $\alpha + 2\beta + \gamma = 360^\circ$ |
Beispiel: Drachen ABCD mit Symmetrieachse AC, α = 70°, γ = 110°
Die Winkel bei B und D sind gleich groß. Also
Beispiel: Parallelogramm mit α = 64°
Gegenwinkel sind gleich, Nachbarwinkel ergeben 180°: $\gamma = 64^\circ$, $\beta = \delta = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$. Probe: $64^\circ + 116^\circ + 64^\circ + 116^\circ = 360^\circ$.
Winkel fehlt? Der Winkelrechner berechnet fehlende Winkel in Parallelogramm, Trapez und Drachen mit Skizze. Flächeninhalte von Trapez, Raute und Drachen findest Du unter Umfang und Flächeninhalt. Wie Du diese Vierecke mit Zirkel und Geodreieck aus gegebenen Seiten und Winkeln zeichnest, zeigt Vierecke konstruieren.
Typische Fehler
- „Ein Quadrat ist kein Rechteck“ – doch: Es hat vier rechte Winkel, also ist es ein (besonderes) Rechteck.
- Beim Parallelogramm denken, die Diagonalen seien gleich lang – das gilt nur beim Rechteck.
- Beim Drachen die falschen Winkel gleichsetzen: Gleich sind die beiden Winkel, die nicht auf der Symmetrieachse liegen.
- Bei der Raute die Diagonalen für gleich lang halten – sie stehen senkrecht, sind aber nur beim Quadrat gleich lang.
- Nur auf das Aussehen achten: Ein „schräg liegendes“ Quadrat ist trotzdem ein Quadrat.
Online üben
Stufe 1: Gilt die Eigenschaft immer? Stufe 2: Haus der Vierecke und Vierecke mit Koordinaten. Stufe 3: Winkel berechnen.
Stufe 2: Haus der Vierecke und Koordinaten
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Aufgabe 1
\(A(2 \mid 2),\) \(B(4 \mid 2),\) \(C(6 \mid 5),\) \(D(0 \mid 5):\) genauester Name?gleichschenkliges Trapez
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Aufgabe 2
\(A(10 \mid 2),\) \(B(2 \mid 2),\) \(C(5 \mid 0),\) \(D(7 \mid 0):\) genauester Name?gleichschenkliges Trapez
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Aufgabe 3
\(A(2 \mid 2),\) \(B(5 \mid 4),\) \(C(5 \mid 7),\) \(D(2 \mid 9):\) genauester Name?gleichschenkliges Trapez
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Aufgabe 4
Ist jeder Drachen auch ein Quadrat?\(\text{nein}\)
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Aufgabe 5
\(A(0 \mid 2),\) \(B(4 \mid 0),\) \(C(4 \mid 7),\) \(D(0 \mid 3):\) genauester Name?\(\text{Trapez}\)
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Aufgabe 6
Ist jedes Parallelogramm auch ein gleichschenkliges Trapez?\(\text{nein}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Haus der Vierecke
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6–8.
Weiterlesen: Viereck, Parallelogramm, Drachenviereck bei Wikipedia