Kreis im Koordinatensystem
Im Koordinatensystem wird ein Kreis zu einer Gleichung. Damit kannst Du rechnen statt zeichnen: ob ein Punkt auf dem Kreis liegt, wo eine Gerade den Kreis schneidet, wie die Tangente in einem Punkt lautet und wo sich zwei Kreise treffen. Alle Beispiele kannst Du im Kreis-Rechner mit eigenen Zahlen nachrechnen.
Die Kreisgleichung
Ein Kreis k besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt $M(x_M \mid y_M)$ den Abstand r haben. Den Abstand eines Punktes $P(x \mid y)$ von M liefert der Satz des Pythagoras – die Katheten sind $x - x_M$ und $y - y_M$. Quadriert ergibt das die Kreisgleichung.
Kreisgleichung
Mittelpunktform: $(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2$
Allgemeine (ausmultiplizierte) Form: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ mit $D = -2x_M$, $E = -2y_M$ und $F = x_M^2 + y_M^2 - r^2$.
Mittelpunkt im Ursprung: $x^2 + y^2 = r^2$.
Beispiel 1: Mittelpunkt und Radius bestimmen
Gegeben ist $k:\ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$. Sortiere nach x und y und ergänze jeweils zu einem Binom (quadratische Ergänzung):
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 3 + 9 + 4$, also $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$.
Der Mittelpunkt ist $M(3 \mid -2)$, der Radius $r = 4$. Achtung: In der Klammer steht $y + 2$, die y-Koordinate von M ist also −2.
Ob ein Punkt innerhalb, auf oder außerhalb des Kreises liegt, prüfst Du durch Einsetzen: Ist die linke Seite der Mittelpunktform kleiner als r², liegt er innen, ist sie gleich r², auf dem Kreis, sonst außen.
Kreis und Gerade
Eine Gerade kann einen Kreis zweimal schneiden (Sekante), ihn in genau einem Punkt berühren (Tangente) oder an ihm vorbeigehen (Passante).
Zwei Wege zur Lage
- Einsetzen: Löse die Geradengleichung nach y auf und setze sie in die Kreisgleichung ein. Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen (Sekante), eine (Tangente) oder keine (Passante). Die Lösungen sind die x-Werte der Schnittpunkte.
- Abstand: Für $g:\ ax + by = c$ hat M den Abstand $d = \frac{|a \cdot x_M + b \cdot y_M - c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Es gilt: $d < r$ Sekante, $d = r$ Tangente, $d > r$ Passante.
Beispiel 2: Schnittpunkte
$k:\ x^2 + y^2 = 25$ und $g:\ y = x + 1$. Einsetzen: $x^2 + (x + 1)^2 = 25 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 24 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$.
p-q-Formel: $x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 12} = -\frac{1}{2} \pm \frac{7}{2}$, also $x_1 = -4$ und $x_2 = 3$. Mit $y = x + 1$: $S_1(-4 \mid -3)$, $S_2(3 \mid 4)$ – g ist eine Sekante.
Tangente in einem Kreispunkt
Die Tangente im Punkt B des Kreises steht senkrecht auf dem Berührradius MB. Der Vektor $\overrightarrow{MB}$ ist deshalb ein Normalenvektor der Tangente. Daraus ergibt sich eine handliche Formel.
Tangentengleichung im Punkt $B(x_B \mid y_B)$
$(x_B - x_M)(x - x_M) + (y_B - y_M)(y - y_M) = r^2$
Mit Steigungen: $m_{MB} \cdot m_t = -1$, also $m_t = -\frac{1}{m_{MB}}$ (wenn MB nicht waagerecht oder senkrecht ist).
Beispiel 3
Tangente an $k:\ x^2 + y^2 = 25$ in $B(3 \mid 4)$: $3x + 4y = 25$, also $t:\ y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$. Kontrolle: $m_{MB} = \frac{4}{3}$ und $\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$.
Tangenten von außen und die Polare
Von einem Punkt P außerhalb des Kreises gibt es zwei Tangenten. Ihre Berührpunkte $B_1$ und $B_2$ liegen auf einer Geraden, der Polare von P. Ihre Gleichung sieht aus wie die Tangentengleichung – nur steht P an der Stelle von B:
Polare von $P(x_P \mid y_P)$
$p:\ (x_P - x_M)(x - x_M) + (y_P - y_M)(y - y_M) = r^2$
Liegt P außen, schneidet p den Kreis in den Berührpunkten. Liegt P auf dem Kreis, ist p die Tangente in P. Liegt P innen, geht p am Kreis vorbei. Die Polare steht senkrecht auf MP und hat von M den Abstand $\frac{r^2}{|MP|}$.
Beispiel 4
$k:\ x^2 + y^2 = 25$, $P(7 \mid 1)$. Polare: $7x + y = 25$, also $y = 25 - 7x$. Einsetzen: $x^2 + (25 - 7x)^2 = 25 \Rightarrow 50x^2 - 350x + 600 = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 = 0$, also $x = 3$ oder $x = 4$.
Berührpunkte: $B_1(3 \mid 4)$, $B_2(4 \mid -3)$. Tangenten: $t_1:\ 3x + 4y = 25$ und $t_2:\ 4x - 3y = 25$ – beide gehen durch P. Der Tangentenabschnitt ist $|PB| = \sqrt{|MP|^2 - r^2} = \sqrt{50 - 25} = 5$.
Die Berührpunkte liegen außerdem auf dem Thaleskreis über MP – das ist der Weg beim Konstruieren, siehe Thaleskreis und Tangenten.
Zwei Kreise und die Potenzgerade
Ziehst Du die allgemeinen Formen zweier Kreisgleichungen voneinander ab, fallen $x^2$ und $y^2$ weg. Übrig bleibt eine Geradengleichung – die Potenzgerade. Auf ihr liegen alle gemeinsamen Punkte der beiden Kreise.
Potenzgerade
$k_1:\ x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0$, $k_2:\ x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0$
$k_1 - k_2:\ (D_1 - D_2)\,x + (E_1 - E_2)\,y + (F_1 - F_2) = 0$
Sie steht senkrecht auf $M_1M_2$. Schneiden sich die Kreise, geht sie durch beide Schnittpunkte; berühren sie sich, ist sie die gemeinsame Tangente. Für jeden Punkt Q auf ihr ist die Potenz $|QM_1|^2 - r_1^2$ gleich $|QM_2|^2 - r_2^2$. Bei gleichem Mittelpunkt gibt es keine Potenzgerade.
Beispiel 5
$k_1:\ x^2 + y^2 - 25 = 0$ und $k_2:\ x^2 + y^2 - 12x - 4y + 27 = 0$ (ausmultipliziert aus $(x - 6)^2 + (y - 2)^2 = 13$).
$k_1 - k_2:\ 12x + 4y - 52 = 0$, also $g_P:\ 3x + y = 13$. Mit $y = 13 - 3x$ in $k_1$: $x^2 + (13 - 3x)^2 = 25 \Rightarrow x^2 - 7{,}8x + 14{,}4 = 0$, also $x = 3$ oder $x = 4{,}8$.
Schnittpunkte: $S_1(3 \mid 4)$ und $S_2(4{,}8 \mid -1{,}4)$.
Typische Fehler
- Das Vorzeichen in der Klammer übernehmen: Bei $(x + 2)^2$ ist $x_M = -2$.
- Rechts r statt r² ablesen: Bei $= 16$ ist $r = 4$; bei $= 12$ ist $r = \sqrt{12} \approx 3{,}46$.
- Bei der quadratischen Ergänzung die ergänzten Zahlen nur links addieren – sie gehören auf beide Seiten.
- Vor dem Abziehen die Kreisgleichungen nicht ausmultiplizieren – dann fallen x² und y² nicht weg.
- Eine Gerade wie $x = 4$ nach y auflösen wollen: Setze dann direkt x = 4 ein und löse nach y.
Kreis durch drei Punkte
Durch zwei Punkte gehen unendlich viele Kreise, durch drei Punkte genau einer – vorausgesetzt, sie liegen nicht auf einer Geraden. Sein Mittelpunkt ist von allen drei Punkten gleich weit entfernt, also der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Du findest ihn als Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten.
Mittelsenkrechte als Gleichung
Alle Punkte X, die von P und Q gleich weit entfernt sind, erfüllen $(x_Q - x_P)\,x + (y_Q - y_P)\,y = \frac{x_Q^2 + y_Q^2 - x_P^2 - y_P^2}{2}$. Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist ihr Normalenvektor.
Beispiel: A(5 | 5), B(−2 | 4), C(7 | 1)
Mittelsenkrechte von AB: $\overrightarrow{AB} = (-7 \mid -1)$, also $-7x - y = \frac{4 + 16 - 25 - 25}{2} = -15$ oder $7x + y = 15$.
Mittelsenkrechte von BC: $\overrightarrow{BC} = (9 \mid -3)$, also $9x - 3y = \frac{49 + 1 - 4 - 16}{2} = 15$ oder $3x - y = 5$.
Addieren: $10x = 20$, also $x = 2$ und $y = 1$. Der Mittelpunkt ist $M(2 \mid 1)$, der Radius $r^2 = (5 - 2)^2 + (5 - 1)^2 = 25$:
\[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 \]
Probe: $(-2 - 2)^2 + (4 - 1)^2 = 25$ ✓ und $(7 - 2)^2 + (1 - 1)^2 = 25$ ✓
Abkürzung mit dem rechten Winkel
Hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel ($\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$), liegt C auf dem Thaleskreis über AB. Dann ist M einfach die Mitte von AB. Wie man den Umkreis mit Zirkel und Lineal konstruiert, zeigt die Seite Besondere Linien im Dreieck.
Mit eigenen Punkten rechnet der Kreis-Rechner (Art „Kreis durch drei Punkte“) – auch mit Brüchen und mit Prüfung, ob die Punkte auf einer Geraden liegen.
Online üben
Erst die Kreisgleichung lesen und umformen, dann Kreis und Gerade – Lage, Schnittpunkte und Tangenten.
Stufe 2: Quadratische Ergänzung
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Aufgabe 1
\(k:\ x^2 + y^2 + 10x + 4y + 21\) \(= 0:\ \text{Radius?}\)\(r =\)quadratisch ergänzt: \((x + 5)^2 + (y + 2)^2 = 8\) \(\Rightarrow\ r = 2\sqrt{2}\)
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Aufgabe 2
\(k:\ x^2 + y^2 - 8x - 8y + 7 = 0:\) Mittelpunkt?quadratisch ergänzt: \((x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 25\) \(\Rightarrow\ M(4 \mid 4)\)
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Aufgabe 3
\(k:\ x^2 + y^2 + 10x - 8y + 16\) \(= 0:\ \text{Radius?}\)\(r =\)quadratisch ergänzt: \((x + 5)^2 + (y - 4)^2 = 25\) \(\Rightarrow\ r = 5\)
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Aufgabe 4
\(k:\ x^2 + y^2 + 2x + 6y = 0:\ \text{Radius?}\)\(r =\)quadratisch ergänzt: \((x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 10\) \(\Rightarrow\ r = \sqrt{10}\)
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Aufgabe 5
\(k:\ x^2 + y^2 - 8x + 6y + 9 = 0:\) Mittelpunkt?quadratisch ergänzt: \((x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 16\) \(\Rightarrow\ M(4 \mid -3)\)
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Aufgabe 6
\(k:\ x^2 + y^2 + 10x + 8y - 8 = 0:\) Mittelpunkt?quadratisch ergänzt: \((x + 5)^2 + (y + 4)^2 = 49\) \(\Rightarrow\ M(-5 \mid -4)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kreisgleichung: Mittelpunkt, Radius, Lage eines Punktes
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–11.
Kreis und Gerade
Stufe 1: Lage von Kreis und Gerade
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Aufgabe 1
\(k:\ x^2 + (y + 2)^2\) \(= 13,\) \(g:\ 3x + 2y\) \(= -17:\) Passante, Tangente oder Sekante?\(d = \frac{|13|}{\sqrt{13}} \approx 3{,}61 = r = \sqrt{13}\) \(\Rightarrow\) Tangente
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Aufgabe 2
\(k:\ (x + 4)^2 + (y - 4)^2\) \(= 29,\) \(g:\ 2x + 5y\) \(= 70:\) Passante, Tangente oder Sekante?\(d = \frac{|-58|}{\sqrt{29}} \approx 10{,}77 > r = \sqrt{29}\) \(\Rightarrow\) Passante
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Aufgabe 3
\(k:\ (x - 1)^2 + (y + 1)^2\) \(= 25,\) \(g:\ 4x + 3y\) \(= 8:\) Passante, Tangente oder Sekante?\(d = \frac{|-7|}{\sqrt{25}}\) \(= 1{,}4 < r\) \(= 5\) \(\Rightarrow\ \text{Sekante}\)
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Aufgabe 4
\(k:\ (x - 3)^2 + (y - 2)^2\) \(= 25,\) \(g:\ 4x - 3y\) \(= 28:\) Passante, Tangente oder Sekante?\(d = \frac{|-22|}{\sqrt{25}}\) \(= 4{,}4 < r\) \(= 5\) \(\Rightarrow\ \text{Sekante}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kreis und Gerade: Lage, Schnittpunkte, Tangente
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–11.
Kreis durch drei Punkte
Stufe 1: Thaleskreis
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Aufgabe 1
\(A(6 \mid -8),\) \(B(2 \mid 2),\) \(C(9 \mid -1):\) rechter Winkel bei C. Mittelpunkt des Kreises durch A, B, C?\(M =\) Mitte von \(AB = (4 \mid -3)\ (\text{Thales})\)
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Aufgabe 2
\(A(-5 \mid -13),\) \(B(-1 \mid 5),\) \(C(3 \mid 3):\) rechter Winkel bei C. Mittelpunkt des Kreises durch A, B, C?\(M =\) Mitte von \(AB = (-3 \mid -4)\ (\text{Thales})\)
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Aufgabe 3
\(A(6 \mid -6),\) \(B(-8 \mid 6),\) \(C(-10 \mid 2):\) rechter Winkel bei C. Mittelpunkt des Kreises durch A, B, C?\(M =\) Mitte von \(AB = (-1 \mid 0)\ (\text{Thales})\)
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Aufgabe 4
\(A(7 \mid 8),\) \(B(1 \mid 0),\) \(C(4 \mid 9):\) rechter Winkel bei C. Mittelpunkt des Kreises durch A, B, C?\(M =\) Mitte von \(AB = (4 \mid 4)\ (\text{Thales})\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kreis durch drei Punkte
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–11.
Weiter
- Kreis-Rechner im Koordinatensystem – alle Rechnungen dieser Seite mit eigenen Zahlen
- Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise und der Rechner dazu
- Kreis – Umfang, Fläche, Kreisteile
- Kugel in der analytischen Geometrie – dasselbe eine Dimension höher
- p-q-Formel – zum Lösen der quadratischen Gleichungen
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