Satz des Thales und Tangenten
Der Satz des Thales ist einer der ältesten Sätze der Geometrie: Jeder Punkt auf einem Halbkreis bildet mit dem Durchmesser einen rechten Winkel. Mit ihm konstruierst Du rechte Winkel und vor allem Tangenten an einen Kreis. Was ein Kreis, sein Radius und sein Durchmesser sind, zeigt die Seite Kreis.
Der Satz des Thales
Satz des Thales
Liegt der Punkt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB (und ist C weder A noch B), dann hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel: $\gamma = 90^\circ$.
Diesen Kreis nennt man den Thaleskreis über der Strecke AB. Sein Mittelpunkt ist die Mitte von AB, sein Radius die halbe Länge von AB.
Zieh den Punkt C über den Kreis: Das Dreieck ändert seine Form, aber der Winkel bei C bleibt immer $90^\circ$ – und $\alpha + \beta$ bleibt $90^\circ$.
α ≈ 31°, β ≈ 59°, γ = 90°
Zieh den orangen Punkt C über den Kreis (oder nutze die Pfeiltasten). Der Winkel bei C bleibt immer 90°.
Warum gilt der Satz? Eine Beweisskizze
Klicke Dich durch die Schritte. Der Trick: Die Strecke MC teilt das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke.
- Gegeben: Kreis um M, der Durchmesser AB und ein Punkt C auf dem Kreis.
- Verbinde M mit C. Die Strecken MA, MB und MC sind alle Radien – also gleich lang.
- Das Dreieck AMC ist gleichschenklig: Seine Basiswinkel bei A und bei C sind gleich groß, beide α.
- Auch das Dreieck MBC ist gleichschenklig: Die Winkel bei B und bei C sind beide β.
- Winkelsumme im großen Dreieck ABC: α + β + (α + β) = 180°, also 2·(α + β) = 180° und α + β = 90°. Der Winkel bei C ist α + β = 90°.
Kurz zusammengefasst
$MA = MB = MC = r$. Im Dreieck AMC sind die Basiswinkel gleich ($\alpha$), im Dreieck MBC ebenfalls ($\beta$). Die Winkelsumme im großen Dreieck gibt $2\alpha + 2\beta = 180^\circ$, also ist der Winkel bei C: $\alpha + \beta = 90^\circ$.
Umgekehrt gilt auch: Hat ein Dreieck bei C einen rechten Winkel, dann liegt C auf dem Thaleskreis über AB. Deshalb ist der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks immer die Mitte der Hypotenuse (siehe Besondere Linien im Dreieck).
Beispiel: Winkel im Thaleskreis
AB ist ein Durchmesser, C liegt auf dem Kreis und $\alpha = 35^\circ$. Dann ist $\gamma = 90^\circ$ und $\beta = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. Das Dreieck AMC ist gleichschenklig, also ist auch der Winkel bei C zwischen CA und CM $35^\circ$, und $\angle AMC = 180^\circ - 2 \cdot 35^\circ = 110^\circ$.
Tipp: rechten Winkel ohne Geodreieck
Zeichne einen Kreis und einen Durchmesser. Jeder Punkt auf dem Kreis liefert Dir einen rechten Winkel – so prüfen auch Handwerker mit Schnur und Pflock, ob eine Ecke rechtwinklig ist.
Tangente, Sekante und Passante
- Eine Passante geht am Kreis vorbei und hat keinen Punkt mit ihm gemeinsam.
- Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten.
- Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt, dem Berührpunkt B.
Merke
Die Tangente steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius MB. Der Abstand vom Mittelpunkt zur Tangente ist genau der Radius $r$.
Tangente in einem Punkt des Kreises
Liegt B auf dem Kreis, brauchst Du nur die Senkrechte zu MB durch B. Mit dem Geodreieck geht das schnell; mit Zirkel und Lineal so:
- Gegeben: Kreis um M und ein Punkt B auf dem Kreis.
- Zeichne den Strahl von M durch B und verlängere ihn über B hinaus.
- Trage die Strecke MB hinter B noch einmal ab (Zirkel in B, Radius r): Du erhältst Q. B ist die Mitte von MQ.
- Konstruiere die Mittelsenkrechte von MQ: Bögen um M und Q mit gleichem Radius schneiden sich in zwei Punkten.
- Die Gerade durch die beiden Schnittpunkte ist die Tangente t. Sie geht durch B und steht senkrecht auf dem Radius MB.
Tangenten von einem Punkt außerhalb
Von einem Punkt P außerhalb des Kreises gibt es zwei Tangenten. Die Berührpunkte findest Du mit dem Thaleskreis über MP – denn dort ist der Winkel zwischen Radius und Tangente $90^\circ$:
- Gegeben: Kreis um M mit Radius r und ein Punkt P außerhalb des Kreises.
- Verbinde M und P und konstruiere die Mitte H der Strecke MP (Mittelsenkrechte).
- Zeichne den Thaleskreis über MP: Kreis um H durch M und P.
- Er schneidet den gegebenen Kreis in B₁ und B₂. Nach dem Satz des Thales sind die Winkel MB₁P und MB₂P rechte Winkel.
- Die Geraden PB₁ und PB₂ sind die beiden Tangenten. Die Tangentenabschnitte PB₁ und PB₂ sind gleich lang.
Probier es aus: Zieh den Punkt P und beobachte, wie der Thaleskreis die Berührpunkte liefert.
Zieh den Punkt P. Der gestrichelte Thaleskreis über MP schneidet den Kreis genau in den Berührpunkten.
Tangentenabschnitt
Das Dreieck aus M, dem Berührpunkt B und P ist rechtwinklig. Mit dem Satz des Pythagoras gilt für den Tangentenabschnitt $t = \overline{PB}$ und den Abstand $d = \overline{PM}$:
Beide Tangentenabschnitte sind gleich lang. Im Viereck M B P B′ sind die Winkel bei B und B′ rechte Winkel, deshalb ergeben die Winkel bei M und bei P zusammen $180^\circ$.
Beispiel: r = 5 cm, Abstand PM = 13 cm
$t = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}$. Schließen die beiden Radien zu den Berührpunkten $134^\circ$ ein, dann schließen die Tangenten $180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$ ein.
Mit Koordinaten
- Thaleskreis über AB: Mittelpunkt $M = \left(\frac{x_A + x_B}{2} \,\middle|\, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$, Radius $r = \frac{1}{2}\overline{AB}$.
- Liegt C auf dem Thaleskreis? Genau dann, wenn $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$ ist (rechter Winkel bei C).
- Tangente in B am Kreis um M: Sie steht senkrecht auf MB. Hat MB die Steigung $m_1$, hat die Tangente die Steigung $m_2 = -\frac{1}{m_1}$.
Beispiel: A(−1 | 2), B(7 | 8), C(0 | 9)
$\vec{CA} = \begin{pmatrix} -1 \\ -7 \end{pmatrix}$, $\vec{CB} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = -7 + 7 = 0$. Also liegt C auf dem Thaleskreis über AB mit $M(3 \mid 5)$ und $r = \frac{1}{2}\sqrt{8^2 + 6^2} = 5$.
Typische Fehler
- Den rechten Winkel bei A oder B suchen – er liegt immer bei dem Punkt auf dem Kreis, gegenüber dem Durchmesser.
- Den Thaleskreis über der falschen Strecke zeichnen: Für Tangenten von P aus ist es der Kreis über MP, nicht über dem Radius.
- Bei $t = \sqrt{d^2 - r^2}$ die Wurzel aus der Differenz mit der Differenz der Wurzeln verwechseln: $\sqrt{13^2 - 5^2} \neq 13 - 5$.
- Glauben, eine Tangente dürfe den Kreis „ein bisschen“ schneiden – sie hat genau einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam.
Weitere Kreiswinkel (Umfangswinkel, Mittelpunktswinkel) berechnet der Winkelrechner. Weitere Grundkonstruktionen findest Du unter Konstruktionen.
Online üben
Stufe 1: Winkel im Thaleskreis. Stufe 2: Tangentenlänge und Winkel. Stufe 3: Thaleskreis und Tangente mit Koordinaten.
Stufe 3: Thaleskreis und Tangente mit Koordinaten
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Aufgabe 1
\(A(4 \mid 0),\) \(B(0 \mid 6):\) Mittelpunkt des Thaleskreises?\(M\)\(M(2 \mid 3)\)
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Aufgabe 2
Kreis um \(M(1 \mid 3),\) \(r = 4,\) \(P(-2 \mid 7):\) Länge des Tangentenabschnitts?\(t =\)\(\overline{PM} = 5,\ t = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\)
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Aufgabe 3
\(A(10 \mid 6),\) \(B(0 \mid 4):\) Mittelpunkt des Thaleskreises?\(M\)\(M(5 \mid 5)\)
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Aufgabe 4
\(A(-3 \mid -3),\) \(B(5 \mid 3):\) Radius des Thaleskreises?\(r =\)\(r = \frac{1}{2} \cdot \overline{AB} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\)
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Aufgabe 5
\(A(2 \mid 1),\) \(B(0 \mid 5):\) Mittelpunkt des Thaleskreises?\(M\)\(M(1 \mid 3)\)
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Aufgabe 6
\(A(-4 \mid -5),\) \(B(-2 \mid 5):\) Mittelpunkt des Thaleskreises?\(M\)\(M(-3 \mid 0)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Satz des Thales und Tangenten
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–9.
Geraden, die zwei Kreise zugleich berühren, konstruierst Du ebenfalls mit dem Thaleskreis – Schritt für Schritt auf der Seite Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise.
Weiterlesen: Satz des Thales, Tangente bei Wikipedia