Schätzen, Überschlagen und Fermi-Aufgaben
Nicht jede Frage braucht ein genaues Ergebnis. Reicht das Geld an der Kasse? Kann das Ergebnis auf dem Taschenrechner stimmen? Wie viele Liter Wasser trinkt Deine Schule in einem Jahr? Mit Überschlagen und Schätzen findest Du schnell eine gute Antwort – und merkst, wenn eine Rechnung nicht stimmen kann.
Schätzen, Überschlagen, Runden – was ist was?
| Was? | Wie? | Beispiel |
|---|---|---|
| Runden | eine Zahl nach Regeln vereinfachen | 387 ≈ 400 |
| Überschlagen | mit gerundeten Zahlen im Kopf rechnen | 387 + 512 ≈ 400 + 500 = 900 |
| Schätzen | eine Größe mit Vergleichen und Annahmen bestimmen | Die Tür ist etwa 2 m hoch. |
| Fermi-Aufgabe | eine große Frage in kleine Schätzungen zerlegen | Wie viele Brötchen isst eine Stadt am Tag? |
Überschlagen
Merke
Runde die Zahlen so, dass Du leicht im Kopf rechnen kannst – meist auf die höchste Stelle (387 → 400, 48 → 50). Ein Überschlag ist kein genaues Ergebnis, sondern eine Kontrolle: Liegt das genaue Ergebnis in der Nähe?
Beispiele
- Plus: $398 + 611 \approx 400 + 600 = 1000$ (genau: 1009).
- Mal: $48 \cdot 21 \approx 50 \cdot 20 = 1000$ (genau: 1008).
- Geteilt: $6312 : 79 \approx 6400 : 80 = 80$ (genau: etwa 79,9). Hier wurde 6312 zu 6400 gerundet, weil 6400 gut durch 80 teilbar ist.
Tipp: Komma mit dem Überschlag setzen
Ein Taschenrechner ohne Komma zeigt für $4{,}9 \cdot 31$ die Ziffern 1519. Überschlag: $5 \cdot 30 = 150$. Also heißt das Ergebnis 151,9 – nicht 15,19 und nicht 1519.
Beispiel: Reicht das Geld?
Du hast 20 €. Im Korb liegen Dinge zu 4,95 €, 7,80 € und 6,49 €. Überschlag: $5 + 8 + 6{,}50 = 19{,}50$ – das reicht knapp (genau: 19,24 €). Wird es sehr knapp, rechne lieber genau nach.
Schätzen mit Stützpunkten
Zum Schätzen brauchst Du Vergleichsgrößen, die Du gut kennst – sogenannte Stützpunkte. Zum Beispiel:
- Eine Zimmertür ist etwa 2 m hoch und knapp 1 m breit.
- Ein großer Schritt eines Erwachsenen ist etwa 70 bis 80 cm lang.
- Ein Blatt Druckerpapier ist etwa 0,1 mm dick – 500 Blatt sind also etwa 5 cm.
- Eine Tafel Schokolade wiegt meist 100 g, ein Liter Wasser 1 kg.
Beispiel: Wie hoch ist die Turnhalle?
An der Wand passen etwa 4 Türen übereinander. $4 \cdot 2\,\text{m} = 8\,\text{m}$. Die Halle ist also ungefähr 8 m hoch.
Fermi-Aufgaben
Fermi-Aufgaben sind nach dem Physiker Enrico Fermi benannt, der gern solche Schätzfragen stellte. Die Frage wirkt zuerst unlösbar – zerlegt man sie aber in kleine Schritte, kommt man mit vernünftigen Annahmen zu einer guten Größenordnung.
Merke: so gehst Du vor
- Zerlegen: Welche Größen brauche ich, um die Frage zu beantworten?
- Annahmen offenlegen: Schreibe jede Annahme auf („Ich nehme an: …“) und begründe sie kurz.
- Rechnen: mit runden Zahlen, Schritt für Schritt.
- Größenordnung angeben: eher 1000, 10 000 oder 100 000? Ein genaues Ergebnis wäre hier Scheingenauigkeit.
- Prüfen: Ist das Ergebnis plausibel? Welche Annahme ist am unsichersten?
Beispiel: Wie viel trinkt eine Schule?
Frage: Wie viele Liter Wasser trinken alle Kinder einer Schule in einem Schuljahr?
| Annahme | Wert |
|---|---|
| Kinder an der Schule | 500 |
| getrunken in der Schule pro Kind und Tag | 0,5 Liter |
| Schultage im Jahr | 190 |
Rechnung: $500 \cdot 0{,}5 \cdot 190 = 47\,500$ Liter. Antwort: etwa 50 000 Liter – die Größenordnung liegt zwischen 10 000 und 100 000 Litern.
Beispiel: Herzschläge in einem Jahr
Annahme: Das Herz schlägt etwa 70-mal pro Minute. $70 \cdot 60 = 4200$ pro Stunde, $4200 \cdot 24 = 100\,800$ pro Tag, $100\,800 \cdot 365 \approx 36\,800\,000$ pro Jahr. Also etwa 40 Millionen Schläge. Große Zahlen schreibst Du übersichtlich in der wissenschaftlichen Schreibweise: etwa $4 \cdot 10^7$.
Achtung: Es gibt nicht die eine richtige Zahl
Mit anderen Annahmen kommt ein anderes Ergebnis heraus – das ist bei Fermi-Aufgaben in Ordnung. Wichtig ist, dass Deine Annahmen sinnvoll sind und dass jeder Deinen Weg nachvollziehen kann.
Typische Fehler
- Zu genau: „Die Schule trinkt 47 500 Liter“ klingt genau, beruht aber nur auf Schätzungen. Besser: „etwa 50 000 Liter“.
- Ungeschickt gerundet: Bei $6312 : 79$ ist $6300 : 80$ schwer – runde lieber auf Zahlen, die sich gut teilen lassen.
- Einheiten vergessen: pro Minute, pro Stunde, pro Tag – schreibe bei jedem Schritt dazu, worauf sich die Zahl bezieht.
- Annahmen nicht aufgeschrieben: Dann kann niemand prüfen, ob das Ergebnis vernünftig ist.
Wie Du mit Überschlag und Probe Textaufgaben kontrollierst, zeigt die Seite Sachaufgaben.
Online üben
Bei Schätz- und Überschlagsaufgaben zählt jeder gute Wert in der Nähe – Du musst nicht genau dieselbe Zahl treffen wie die Musterlösung.
Stufe 2: Schätzen mit Annahmen
-
Aufgabe 1
Eine Tribüne hat 60 Reihen mit je etwa 230 Plätzen. Sie ist zu einem Viertel besetzt. Wie viele Zuschauer sind ungefähr da?
Zuschauer60 · 230 = 13 800 Plätze; davon 1/4 ≈ 3500 Zuschauer. -
Aufgabe 2
Nimm an: Ein Schritt von Dir ist etwa 73 cm lang. Wie viele Schritte brauchst Du ungefähr für 5 km?
Schritte5 km = 500 000 cm; 500 000 : 73 ≈ 6800 Schritte. -
Aufgabe 3
Nimm an: In 20 g Reis sind etwa 1100 Körner. Wie viele Körner sind ungefähr in einer Packung mit 5 kg?
Körner5 kg = 5000 g = 250 · 20 g; 250 · 1100 = 275 000 Körner. -
Aufgabe 4
Eine Tribüne hat 53 Reihen mit je etwa 80 Plätzen. Sie ist zur Hälfte besetzt. Wie viele Zuschauer sind ungefähr da?
Zuschauer53 · 80 = 4240 Plätze; davon 1/2 ≈ 2100 Zuschauer. -
Aufgabe 5
Ein Wasserhahn tropft. Nimm an: 30 Tropfen pro Minute, und 20 Tropfen sind etwa 1 ml. Wie viele Liter gehen an einem Tag ungefähr verloren?
l30 · 1440 min = 43 200 Tropfen; : 20 = 2160 ml ≈ 2,2 l. -
Aufgabe 6
Nimm an: Ein Herz schlägt in Ruhe etwa 70-mal pro Minute. Wie oft schlägt es ungefähr an einem Tag?
70 · 1440 = 100 800 – also etwa 100 000-mal.
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Bei Schätzaufgaben zählt jeder gute Schätzwert in der Nähe. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Schätzen und Überschlagen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 3–7.
Weiterlesen: Fermi-Problem bei Wikipedia