Mischungsrechnung
Was passiert, wenn Du zwei Sorten zusammenkippst – Saft mit unterschiedlichem Fruchtgehalt, Lösungen mit verschiedenem Salzanteil oder Kaffeebohnen mit verschiedenen Preisen? Der Anteil der Mischung liegt immer zwischen den Anteilen der Sorten. Wo genau, sagt Dir die Mischungsgleichung; welches Verhältnis Du für einen Zielwert brauchst, verrät das Mischungskreuz.
Die Mischungsgleichung
Der Trick: Nicht die Prozente werden addiert, sondern die Menge des reinen Stoffs (bzw. bei Preisen der Gesamtpreis). Mit den Mengen $m_1, m_2$ und den Anteilen $c_1, c_2$ gilt:
$m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2 = (m_1 + m_2) \cdot c \qquad\Longrightarrow\qquad c = \dfrac{m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2}{m_1 + m_2}$
Beispiel: 3 l Saft mit 80 % Fruchtgehalt werden mit 2 l Fruchtsaftgetränk mit 30 % gemischt.
Reiner Fruchtsaft: $3 \cdot 0{,}80 + 2 \cdot 0{,}30 = 2{,}4 + 0{,}6 = 3$ Liter in $5$ Litern Mischung.
$c = \frac{3}{5} = 60\ \%$. Nicht 55 % – das wäre der einfache Mittelwert, der die Mengen nicht berücksichtigt.
Bei Preisen ist es genauso: 6 kg Kaffee zu 16 € pro kg und 4 kg zu 9 € pro kg kosten zusammen $96 + 36 = 132$ €. Die 10 kg Mischung kosten also $13{,}20$ € pro kg. Das ist ein gewichteter Mittelwert, wie Du ihn auch vom Mittelwert kennst.
Das Mischungskreuz
Oft ist der Zielwert vorgegeben: Du willst 30 % und hast Sorten mit 40 % und 10 %. In welchem Verhältnis musst Du mischen? Dafür schreibst Du die Werte über Kreuz:
4020 Teile Sorte 1Ziel
30Sorte 2
1010 Teile Sorte 2
- Links die beiden Sorten, in der Mitte der Zielwert.
- Über Kreuz die Differenzen bilden, immer „größer minus kleiner“: $30 - 10 = 20$ und $40 - 30 = 10$.
- Die Differenz steht gegenüber der Sorte, zu der sie gehört: 20 Teile der 40-%-Sorte, 10 Teile der 10-%-Sorte, also $2 : 1$.
Für 9 l Mischung: $9 : 3 = 3$ l pro Teil, also 6 l der 40-%-Sorte und 3 l der 10-%-Sorte. Probe: $6 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot 0{,}1 = 2{,}7$ und $2{,}7 : 9 = 0{,}3 = 30\ \%$ ✓
Merkhilfe: Je näher der Zielwert an einer Sorte liegt, desto mehr brauchst Du von ihr – darum gehört die Differenz zur anderen Seite.
Verdünnen und Aufkonzentrieren
Wasser ist eine Sorte mit $0\ \%$. Bleibt die Menge des reinen Stoffs gleich, kannst Du direkt rechnen:
Wie viel Wasser brauchst Du, um 2 l Reiniger mit 15 % auf 5 % zu verdünnen?
Reiner Stoff: $2 \cdot 0{,}15 = 0{,}3$ l. Für 5 % müssen das 5 % der neuen Menge sein: $0{,}3 : 0{,}05 = 6$ l. Also 4 l Wasser dazugeben.
Umgekehrt kannst Du ausrechnen, wie viel einer stärkeren Sorte Du zugeben musst. Setze die unbekannte Menge als $m$ in die Mischungsgleichung ein und löse nach $m$ auf – eine lineare Gleichung.
Typische Fehler
- Prozente addieren: 40 % und 10 % ergeben gemischt nicht 50 %, sondern einen Wert dazwischen.
- Einfacher Mittelwert bei verschiedenen Mengen – nur bei gleichen Mengen liegt die Mischung genau in der Mitte.
- Kreuz falsch abgelesen: Die Differenz gehört zur gegenüberliegenden Sorte.
- Unmöglicher Zielwert: Aus 40 % und 10 % kannst Du nie 50 % mischen.
Mischungsrechner
Anteile gibst Du als Zahl ein (für 40 % also 40). Bei Preisen nimmst Du den Preis pro Einheit, z. B. 16 für 16 € pro kg.
Online üben
Gib nur die Zahl ein, z. B. 14 für 14 % oder 13,20 für 13,20 €.
Stufe 3: Verdünnen und Zugeben
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Aufgabe 1
Zu 15 l Fruchtsaftgetränk mit 26 % Fruchtgehalt gibst Du Saft mit 70 % Fruchtgehalt. Wie viel l davon brauchst Du, damit die Mischung 59 % hat?lm · 70 + 15 · 26 = (m + 15) · 59 → m = 15 · (59 − 26) : (70 − 59) = 45 l
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Aufgabe 2
Zu 6 l Desinfektionsmittel mit 60 % Alkohol gibst Du Desinfektionsmittel mit 87 % Alkohol. Wie viel l davon brauchst Du, damit die Mischung 75 % hat?lm · 87 + 6 · 60 = (m + 6) · 75 → m = 6 · (75 − 60) : (87 − 75) = 7,5 l
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Aufgabe 3
Aus Kaffeesorte für 28,00 € pro kg und Kaffeesorte für 10,00 € pro kg sollen 24 kg Mischung für 25,00 € pro kg entstehen. Wie viel kg der ersten Sorte brauchst Du?kgMischungskreuz: 25 − 10 = 15 und 28 − 25 = 3, Verhältnis 5 : 1. 24 : 6 · 5 = 20 kg (dazu 4 kg der zweiten Sorte)
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Aufgabe 4
Zu 10 l Desinfektionsmittel mit 44 % Alkohol gibst Du Desinfektionsmittel mit 95 % Alkohol. Wie viel l davon brauchst Du, damit die Mischung 83 % hat?lm · 95 + 10 · 44 = (m + 10) · 83 → m = 10 · (83 − 44) : (95 − 83) = 32,5 l
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Aufgabe 5
Du hast 1 l Desinfektionsmittel mit 80 % Alkohol. Wie viel Wasser musst Du dazugeben, damit die Mischung nur noch 50 % hat?lDer Stoff bleibt gleich: 1 · 80 % = (1 + w) · 50 % → w = 1 · (80 − 50) : 50 = 0,6 l
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Mischungsrechnung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–9.
Grundlagen zu Anteilen findest Du in der Prozentrechnung und beim Dreisatz. Ähnliche Sachaufgaben mit linearen Funktionen: Tarifvergleich.
Weiterlesen: Mischungsrechnung bei Wikipedia