Spickzettel: Bruchrechnung

Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele zu Bruchrechnung (Klasse 5–7) – 28 Einträge in 5 Abschnitten. Zum Wiederholen vor der Klassenarbeit, am Handy oder ausgedruckt.

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Grundbegriffe

Bruch: \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \qquad \frac{3}{4} = 3 : 4\); der Nenner sagt, in wie viele Teile das Ganze geteilt wird
Echt und unecht: \(\frac{3}{4} < 1 \qquad \frac{7}{4} > 1\); unecht: Zähler größer als Nenner
Gemischte Zahl: \(2\tfrac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}\); Ganze mal Nenner plus Zähler
Zurück umwandeln: \(\frac{11}{4} = 11 : 4 = 2 \text{ Rest } 3 = 2\tfrac{3}{4}\)
Stammbruch: \(\frac{1}{n}\); Zähler 1
Bruch als Anteil: \(\frac{3}{5} \text{ von } 40 = 40 : 5 \cdot 3 = 24\); erst durch den Nenner, dann mal den Zähler

Erweitern und Kürzen

Erweitern: \(\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \qquad \frac{2}{3} = \frac{8}{12}\); Wert bleibt gleich
Kürzen: \(\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k} \qquad \frac{18}{24} = \frac{3}{4}\); vollständig: durch den ggT teilen
Gleichnamig machen: \(\frac{1}{4},\ \frac{1}{6} \;\to\; \frac{3}{12},\ \frac{2}{12}\); Hauptnenner = kgV der Nenner
Vergleichen: \(\frac{3}{4} > \frac{5}{8}, \text{ denn } \frac{6}{8} > \frac{5}{8}\); gleiche Nenner: größerer Zähler gewinnt
Über Kreuz vergleichen: \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \;\Leftrightarrow\; a \cdot d < b \cdot c\); für positive Nenner

Addieren und Subtrahieren

Gleiche Nenner: \(\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}\); Nenner bleibt, Zähler addieren
Verschiedene Nenner: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}\)
Subtrahieren: \(\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}\)
Gemischte Zahlen: \(2\tfrac{1}{2} + 1\tfrac{1}{3} = 3 + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = 3\tfrac{5}{6}\); Ganze und Brüche getrennt
Achtung: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}\); Nenner werden nie addiert

Multiplizieren und Dividieren

Multiplizieren: \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\); Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Beispiel: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 10} = \frac{3}{5}\); vor dem Ausrechnen über Kreuz kürzen
Bruch mal Zahl: \(\frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\)
Kehrwert: \(\frac{a}{b} \to \frac{b}{a} \qquad 5 \to \frac{1}{5}\)
Dividieren: \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\); mit dem Kehrwert malnehmen
Beispiel: \(\frac{3}{4} : \frac{9}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{2}{3}\)
Doppelbruch: \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\)

Brüche, Dezimalzahlen, Prozente

Zehnerbruch: \(0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}\)
Bruch -> Dezimalzahl: \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\)
Periodisch: \(\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3} \qquad \frac{2}{11} = 0{,}\overline{18}\)
Wichtige Werte: \(\frac{1}{2} = 50\,\% \quad \frac{1}{4} = 25\,\% \quad \frac{1}{5} = 20\,\% \quad \frac{1}{8} = 12{,}5\,\%\)
Rechenregel: \(\text{Klammer} \to \text{Punkt} \to \text{Strich}\); gilt auch mit Brüchen

Mehr zum Nachschlagen: die Formelsammlungen und alle Spickzettel.