Spickzettel: Prozent und Zinsen

Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele zu Prozent und Zinsen (Klasse 6–10) – 30 Einträge in 5 Abschnitten. Zum Wiederholen vor der Klassenarbeit, am Handy oder ausgedruckt.

PDF (1 Seite) Zum Bereich Prozent und Zinsen

Grundbegriffe

Prozent: \(1\,\% = \frac{1}{100} = 0{,}01 \qquad 1\,\text{‰} = \frac{1}{1000}\)
Prozentwert: \(W = G \cdot \frac{p}{100}\); G = Grundwert, p = Prozentsatz
Grundwert: \(G = \frac{W \cdot 100}{p} = \frac{W}{p\,\%}\)
Prozentsatz: \(p\,\% = \frac{W}{G}\); als Dezimalzahl, mal 100 ergibt p
Beispiel: \(20\,\% \text{ von } 80\,\text{€} = 80 \cdot 0{,}2 = 16\,\text{€}\)
Prozentpunkte: \(5\,\% \to 7\,\% = +2 \text{ Prozentpunkte} = +40\,\%\); Unterschied zwischen Punkten und Prozent

Dreisatz

Proportional: \(\text{je mehr, desto mehr: } \frac{y}{x} \text{ konstant}\); erst auf 1, dann auf die gesuchte Menge
Beispiel: \(3\,\text{kg} \;\widehat{=}\; 7{,}50\,\text{€} \;\Rightarrow\; 1\,\text{kg} \;\widehat{=}\; 2{,}50\,\text{€} \;\Rightarrow\; 5\,\text{kg} \;\widehat{=}\; 12{,}50\,\text{€}\)
Antiproportional: \(\text{je mehr, desto weniger: } x \cdot y \text{ konstant}\)
Beispiel: \(4 \text{ Arbeiter: } 6 \text{ Tage} \;\Rightarrow\; 1: 24 \;\Rightarrow\; 3: 8 \text{ Tage}\)

Veränderungen

Wachstumsfaktor: \(q = 1 + \frac{p}{100} \qquad q = 1 - \frac{p}{100}\); Zunahme bzw. Abnahme
Vermehrter Grundwert: \(G_{\text{neu}} = G \cdot (1 + p\,\%)\); z. B. +19 % MwSt: mal 1,19
Verminderter Grundwert: \(G_{\text{neu}} = G \cdot (1 - p\,\%)\); z. B. 30 % Rabatt: mal 0,7
Ursprünglicher Preis: \(G = \frac{G_{\text{neu}}}{q} \qquad \frac{119\,\text{€}}{1{,}19} = 100\,\text{€}\)
Prozentuale Änderung: \(\frac{\text{neu} - \text{alt}}{\text{alt}} \cdot 100\,\%\)
Mehrere Schritte: \(+10\,\% \text{ dann } -10\,\%: \; 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99\); ergibt −1 %, nicht 0 %
Skonto: \(\text{Zahlung} = \text{Rechnung} \cdot (1 - s\,\%)\)

Zinsen

Jahreszinsen: \(Z = K \cdot \frac{p}{100}\); K = Kapital, p = Zinssatz
Monatszinsen: \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{m}{12}\)
Tageszinsen: \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\); Bankjahr: 360 Tage, Monat: 30 Tage
Kapital, Zinssatz: \(K = \frac{Z \cdot 100}{p} \qquad p = \frac{Z \cdot 100}{K}\)
Zinseszins: \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n}\); Zinsen werden mitverzinst
Laufzeit: \(n = \frac{\log(K_n : K_0)}{\log q}\)
Zinssatz aus Endkapital: \(q = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} \qquad p = (q - 1) \cdot 100\)
Verdopplung (Faustregel): \(n \approx \frac{72}{p}\); z. B. 6 %: etwa 12 Jahre
Sparplan: \(K_n = K_0 \cdot q^{n} + R \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}\); R = jährliche Rate am Jahresende
Monatlich verzinst: \(K = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{1200}\right)^{12n}\)

Im Alltag

Mehrwertsteuer: \(\text{brutto} = \text{netto} \cdot 1{,}19 \qquad \text{netto} = \frac{\text{brutto}}{1{,}19}\); ermäßigt: 7 %
Rabatt in Euro: \(\text{Rabatt} = \text{Preis} \cdot \frac{p}{100}\)
Gewinn: \(\text{Gewinn} = \text{Erlös} - \text{Kosten}\); in Prozent der Kosten oder des Erlöses

Mehr zum Nachschlagen: die Formelsammlungen und alle Spickzettel.