Spickzettel: Stochastik und Statistik

Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele zu Stochastik und Statistik (Klasse 6–13) – 29 Einträge in 5 Abschnitten. Zum Wiederholen vor der Klassenarbeit, am Handy oder ausgedruckt.

PDF (1 Seite) Zum Bereich Stochastik und Statistik

Daten auswerten

Mittelwert: \(\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}\)
Median: \(\text{mittlerer Wert der sortierten Liste}\); bei gerader Anzahl: Mittelwert der beiden mittleren
Modus, Spannweite: \(\text{häufigster Wert} \qquad x_{\max} - x_{\min}\)
Quartile, Boxplot: \(Q_1,\; \text{Median},\; Q_3 \qquad \text{IQR} = Q_3 - Q_1\)
Varianz: \(s^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^{2}\); Standardabweichung s = Wurzel daraus. Bei Stichproben (Schätzung) teilt man meist durch n − 1 statt n.
Relative Häufigkeit: \(h = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl}}\)

Wahrscheinlichkeit

Laplace: \(P(E) = \frac{\text{günstige}}{\text{mögliche Ergebnisse}}\)
Gegenereignis: \(P(\overline{E}) = 1 - P(E)\); „mindestens einmal“ = 1 − „keinmal“
Pfadregeln: \(\text{entlang des Pfades multiplizieren, Pfade addieren}\)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
Unabhängigkeit: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
Satz von Bayes: \(P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)}\)
Ohne Zurücklegen: \(P(\text{2-mal rot}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\); 3 rote, 2 blaue Kugeln
Vierfeldertafel: \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})\); Zeilen und Spalten addieren sich

Kombinatorik

Fakultät: \(n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n \qquad 0! = 1\)
Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen: \(n^{k}\)
Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen: \(\frac{n!}{(n - k)!}\)
Ohne Reihenfolge (Lotto): \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\); 6 aus 49: 13 983 816

Zufallsgrößen

Erwartungswert: \(E(X) = \mu = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\)
Varianz: \(V(X) = \sum (x_i - \mu)^{2} \cdot P(X = x_i) \qquad \sigma = \sqrt{V(X)}\)
Binomialverteilung: \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}\)
Kenngrößen: \(\mu = n \cdot p \qquad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\)
Normalverteilung: \(P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)\)
Kumuliert: \(P(X \leq k) = P(X = 0) + \ldots + P(X = k) \qquad P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\)

Beurteilende Statistik

Sigma-Regeln: \(P(|X - \mu| \leq \sigma) \approx 68{,}3\,\%\); 2σ: 95,4 %, 3σ: 99,7 % (wenn σ > 3)
95-%-Prognoseintervall: \([\mu - 1{,}96\sigma;\ \mu + 1{,}96\sigma]\)
Konfidenzintervall (Näherung): \(h \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{h(1 - h)}{n}}\)
Hypothesentest: \(P(X \in \text{Ablehnungsbereich}) \leq \alpha\); α = Signifikanzniveau
Fehler: \(\text{1. Art: } H_0 \text{ fälschlich abgelehnt} \quad \text{2. Art: } H_0 \text{ fälschlich behalten}\)

Mehr zum Nachschlagen: die Formelsammlungen und alle Spickzettel.