Histogramm und kumulierte Häufigkeit

Wenn eine Datenreihe sehr viele verschiedene Werte hat – Körpergrößen, Zeiten, Punktzahlen –, zählt man nicht jeden Wert einzeln, sondern fasst sie in Klassen zusammen. Das Histogramm zeigt dann, wie sich die Werte verteilen. Anders als beim Säulendiagramm stoßen die Balken aneinander, denn die Klassen schließen lückenlos aneinander an.

Klassen bilden

• Lege eine Klassenbreite und die erste Klassengrenze fest. Faustregel: etwa $\sqrt{n}$ Klassen bei $n$ Werten, meist 5 bis 10.
• Die Klassen dürfen sich nicht überlappen. Üblich ist „von … bis unter …“: Die Klasse $[40;\ 50)$ enthält 40, aber nicht 50. Ein Wert genau auf einer Grenze gehört damit zur oberen Klasse.
• Zähle mit einer Strichliste, wie viele Werte in jeder Klasse liegen (absolute Häufigkeit). Teilt man durch $n$, erhält man die relative Häufigkeit.

Verschieden breite Klassen: die Häufigkeitsdichte

Sind die Klassen unterschiedlich breit, würde ein breiter Balken ein falsches Bild geben: Er sammelt ja Werte aus einem größeren Bereich. Deshalb zeichnet man im Histogramm die Fläche eines Balkens proportional zur Häufigkeit. Die Höhe ist dann die Häufigkeitsdichte:

Kumulierte Häufigkeit und Summenkurve

Die kumulierte relative Häufigkeit $F(x)$ gibt an, welcher Anteil der Werte kleiner als $x$ ist. An den Klassengrenzen addiert man die relativen Häufigkeiten der Reihe nach auf; dazwischen verbindet man die Punkte geradlinig. So entsteht die Summenkurve (Ogive). Sie steigt von 0 auf 1.

An der Summenkurve liest man Quantile ab: Wo sie die Höhe 0,5 erreicht, liegt der Median, bei 0,25 und 0,75 liegen das untere und das obere Quartil.

Median und Mittelwert aus Klassen

Kennt man nur die Klassen, nicht die einzelnen Werte, lassen sich Kennwerte nur schätzen:

• Mittelwert: Jede Klasse wird durch ihre Mitte vertreten: $\bar{x} \approx \frac{1}{n} \sum h_i \cdot m_i$. Im Beispiel: $\bar{x} \approx \frac{12 \cdot 5 + 18 \cdot 15 + 9 \cdot 25 + 6 \cdot 45}{45} \approx 18{,}33$ Minuten.
• Median: Suche die Klasse, in der $F$ die 0,5 überschreitet, und rechne dort linear: $m = a + \dfrac{0{,}5 - F(a)}{f} \cdot \text{Breite}$. Im Beispiel liegt der Median in der Klasse 10 bis unter 20: $m = 10 + \dfrac{0{,}5 - 0{,}2667}{0{,}4} \cdot 10 \approx 15{,}83$ Minuten (rote Linie im Histogramm).

Weil die Werte innerhalb einer Klasse unbekannt sind, weichen diese Schätzungen etwas von den Werten ab, die man aus den Rohdaten mit dem Statistik-Rechner bekäme.

Typische Fehler

• Lücken zwischen den Balken: Im Histogramm schließen die Balken direkt aneinander an.
• Grenzwerte doppelt gezählt: Ein Wert auf der Grenze gehört nur zu einer Klasse – bei „bis unter“ zur oberen.
• Höhe statt Fläche: Bei verschieden breiten Klassen ist die Höhe die Dichte, nicht die Anzahl.
• Kumuliert falsch abgelesen: $F(20)$ ist der Anteil unter 20, also die Summe der Klassen bis 20 – nicht der Anteil der Klasse 20 bis 30.

Eigene Daten als Histogramm darstellen, mit Summenkurve, Median, Mittelwert und Modalklasse, kannst Du mit dem Histogramm-Rechner. Häufigkeiten und Strichlisten für Einsteiger erklärt die Seite Absolute und relative Häufigkeit.

Online üben

Mehrere Häufigkeiten gibst Du der Reihe nach mit Semikolon getrennt ein, z. B. 3; 5; 4. Kumulierte Häufigkeiten darfst Du als Dezimalzahl oder in Prozent angeben.

Weiterlesen: Histogramm bei Wikipedia

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