Histogramm und kumulierte Häufigkeit
Wenn eine Datenreihe sehr viele verschiedene Werte hat – Körpergrößen, Zeiten, Punktzahlen –, zählt man nicht jeden Wert einzeln, sondern fasst sie in Klassen zusammen. Das Histogramm zeigt dann, wie sich die Werte verteilen. Anders als beim Säulendiagramm stoßen die Balken aneinander, denn die Klassen schließen lückenlos aneinander an.
Klassen bilden
- Lege eine Klassenbreite und die erste Klassengrenze fest. Faustregel: etwa $\sqrt{n}$ Klassen bei $n$ Werten, meist 5 bis 10.
- Die Klassen dürfen sich nicht überlappen. Üblich ist „von … bis unter …“: Die Klasse $[40;\ 50)$ enthält 40, aber nicht 50. Ein Wert genau auf einer Grenze gehört damit zur oberen Klasse.
- Zähle mit einer Strichliste, wie viele Werte in jeder Klasse liegen (absolute Häufigkeit). Teilt man durch $n$, erhält man die relative Häufigkeit.
Beispiel: Punkte von 20 Schülerinnen und Schülern
43; 47; 52; 55; 58; 61; 63; 64; 66; 68; 71; 72; 74; 75; 77; 79; 83; 86; 91; 97
| Klasse (Punkte) | Strichliste | absolute Häufigkeit | relative Häufigkeit |
|---|---|---|---|
| 40 bis unter 50 | || | 2 | 0,1 |
| 50 bis unter 60 | ||| | 3 | 0,15 |
| 60 bis unter 70 | ||||| | 5 | 0,25 |
| 70 bis unter 80 | |||||| | 6 | 0,3 |
| 80 bis unter 90 | || | 2 | 0,1 |
| 90 bis unter 100 | || | 2 | 0,1 |
Alle Klassen sind gleich breit, deshalb darf die Höhe der Balken einfach die Häufigkeit sein. Am häufigsten sind Ergebnisse zwischen 70 und 80 Punkten (Modalklasse, dunkler Balken).
Verschieden breite Klassen: die Häufigkeitsdichte
Sind die Klassen unterschiedlich breit, würde ein breiter Balken ein falsches Bild geben: Er sammelt ja Werte aus einem größeren Bereich. Deshalb zeichnet man im Histogramm die Fläche eines Balkens proportional zur Häufigkeit. Die Höhe ist dann die Häufigkeitsdichte:
Beispiel: Fahrzeit von 45 Kindern zur Schule (in Minuten)
| Fahrzeit | Anzahl | relative Häufigkeit | Breite | Dichte | kumuliert $F$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 bis unter 10 | 12 | 0,2667 | 10 | 0,0267 | 0,2667 |
| 10 bis unter 20 | 18 | 0,4 | 10 | 0,04 | 0,6667 |
| 20 bis unter 30 | 9 | 0,2 | 10 | 0,02 | 0,8667 |
| 30 bis unter 60 | 6 | 0,1333 | 30 | 0,0044 | 1 |
Die letzte Klasse ist dreimal so breit wie die anderen. Mit 6 Kindern ist ihr Balken trotzdem am niedrigsten – pro Minute kommen dort nur wenige Kinder vor. Hätte man einfach die Anzahl als Höhe genommen, sähe es so aus, als wären lange Fahrzeiten fast so häufig wie kurze.
Kumulierte Häufigkeit und Summenkurve
Die kumulierte relative Häufigkeit $F(x)$ gibt an, welcher Anteil der Werte kleiner als $x$ ist. An den Klassengrenzen addiert man die relativen Häufigkeiten der Reihe nach auf; dazwischen verbindet man die Punkte geradlinig. So entsteht die Summenkurve (Ogive). Sie steigt von 0 auf 1.
An der Summenkurve liest man Quantile ab: Wo sie die Höhe 0,5 erreicht, liegt der Median, bei 0,25 und 0,75 liegen das untere und das obere Quartil.
Median und Mittelwert aus Klassen
Kennt man nur die Klassen, nicht die einzelnen Werte, lassen sich Kennwerte nur schätzen:
- Mittelwert: Jede Klasse wird durch ihre Mitte vertreten: $\bar{x} \approx \frac{1}{n} \sum h_i \cdot m_i$. Im Beispiel: $\bar{x} \approx \frac{12 \cdot 5 + 18 \cdot 15 + 9 \cdot 25 + 6 \cdot 45}{45} \approx 18{,}33$ Minuten.
- Median: Suche die Klasse, in der $F$ die 0,5 überschreitet, und rechne dort linear: $m = a + \dfrac{0{,}5 - F(a)}{f} \cdot \text{Breite}$. Im Beispiel liegt der Median in der Klasse 10 bis unter 20: $m = 10 + \dfrac{0{,}5 - 0{,}2667}{0{,}4} \cdot 10 \approx 15{,}83$ Minuten (rote Linie im Histogramm).
Weil die Werte innerhalb einer Klasse unbekannt sind, weichen diese Schätzungen etwas von den Werten ab, die man aus den Rohdaten mit dem Statistik-Rechner bekäme.
Typische Fehler
- Lücken zwischen den Balken: Im Histogramm schließen die Balken direkt aneinander an.
- Grenzwerte doppelt gezählt: Ein Wert auf der Grenze gehört nur zu einer Klasse – bei „bis unter“ zur oberen.
- Höhe statt Fläche: Bei verschieden breiten Klassen ist die Höhe die Dichte, nicht die Anzahl.
- Kumuliert falsch abgelesen: $F(20)$ ist der Anteil unter 20, also die Summe der Klassen bis 20 – nicht der Anteil der Klasse 20 bis 30.
Eigene Daten als Histogramm darstellen, mit Summenkurve, Median, Mittelwert und Modalklasse, kannst Du mit dem Histogramm-Rechner. Häufigkeiten und Strichlisten für Einsteiger erklärt die Seite Absolute und relative Häufigkeit.
Online üben
Mehrere Häufigkeiten gibst Du der Reihe nach mit Semikolon getrennt ein, z. B. 3; 5; 4. Kumulierte Häufigkeiten darfst Du als Dezimalzahl oder in Prozent angeben.
Stufe 3: Kumulierte Häufigkeit, Median und Mittelwert
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Aufgabe 1
\(10\text{–}15\colon 24,\) \(15\text{–}30\colon 3,\) \(30\text{–}50\colon 12,\) \(50\text{–}90\colon 9:\) \(\text{Median?}\)\(10 + \frac{0{,}5 - 0}{0{,}5} \cdot 5 = 15\)
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Aufgabe 2
\(20\text{–}30\colon 22,\) \(30\text{–}40\colon 8,\) \(40\text{–}70\colon 12:\) \(\text{Median?}\)\(20 + \frac{0{,}5 - 0}{0{,}5238} \cdot 10 \approx 29{,}55\)
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Aufgabe 3
\(0\text{–}10\colon 7,\) \(10\text{–}20\colon 28,\) \(20\text{–}50\colon 28:\) \(\text{Median?}\)\(10 + \frac{0{,}5 - 0{,}1111}{0{,}4444} \cdot 10\) \(= 18{,}75\)
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Aufgabe 4
\(20\text{–}30\colon 9,\) \(30\text{–}40\colon 21,\) \(40\text{–}60\colon 15,\) \(60\text{–}100\colon 20:\) \(\text{Median?}\)\(40 + \frac{0{,}5 - 0{,}4615}{0{,}2308} \cdot 20\) \(\approx 43{,}33\)
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Aufgabe 5
\(10\text{–}20\colon 4,\) \(20\text{–}40\colon 30,\) \(40\text{–}70\colon 13:\) \(\text{Median?}\)\(20 + \frac{0{,}5 - 0{,}0851}{0{,}6383} \cdot 20\) \(= 33\)
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Aufgabe 6
\(0\text{–}10\colon 6,\) \(10\text{–}30\colon 29,\) \(30\text{–}60\colon 17:\) \(F(30) = ?\)\(F(30) = \frac{35}{52} \approx 0{,}6731\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Histogramm und kumulierte Häufigkeit
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–13.
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