Hypothesentest mit der Normalverteilung
Bei 600 Befragten müsstest Du in der Tabelle der Binomialverteilung lange suchen, bis Du die kritische Zahl findest. Schneller geht es mit der Glockenkurve: Ist die Stichprobe groß genug, ersetzt Du die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit demselben Erwartungswert und derselben Standardabweichung. Dann liefern ein z-Wert und eine einzige Formel den Ablehnungsbereich.
Wann darf man mit der Normalverteilung rechnen?
Die Trefferzahl $X$ einer Stichprobe vom Umfang $n$ ist binomialverteilt. Je größer $n$ wird, desto mehr gleicht das Histogramm einer Glockenkurve. Als Faustregel gilt die Laplace-Bedingung:
Merke: Laplace-Bedingung
Ist $\sigma$ größer als 3, darfst Du $X$ näherungsweise als normalverteilt mit $\mu$ und $\sigma$ ansehen. Gerechnet wird dabei immer mit dem Wert $p_0$ aus der Nullhypothese.
Tipp
Statt die Wurzel zu ziehen, kannst Du auch $n \cdot p \cdot (1 - p) > 9$ prüfen. Bei $p_0 = 0{,}5$ reichen schon 37 Versuche, bei $p_0 = 0{,}05$ braucht man mindestens 190.
Die wichtigsten z-Werte
Statt einer kritischen Zahl aus der Binomialtabelle brauchst Du nur noch den passenden Wert $z$ der Standardnormalverteilung. Beim einseitigen Test gilt $\Phi(z) = 1 - \alpha$, beim zweiseitigen $\Phi(z) = 1 - \frac{\alpha}{2}$:
| Signifikanzniveau $\alpha$ | einseitig | zweiseitig |
|---|---|---|
| 10 % | $z \approx 1{,}282$ | $z \approx 1{,}645$ |
| 5 % | $z \approx 1{,}645$ | $z \approx 1{,}960$ |
| 1 % | $z \approx 2{,}326$ | $z \approx 2{,}576$ |
Diese Werte kennst Du auch von den Sigma-Regeln: Zwischen $\mu - 1{,}96\sigma$ und $\mu + 1{,}96\sigma$ liegen etwa 95 % aller Ergebnisse.
Ablehnungsbereich in drei Schritten
Merke: So bestimmst Du den Ablehnungsbereich
- $\mu = n \cdot p_0$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p_0 \cdot (1 - p_0)}$ berechnen, Laplace-Bedingung prüfen.
- Grenze berechnen: rechtsseitig $c = \mu + z \cdot \sigma$, linksseitig $c = \mu - z \cdot \sigma$, zweiseitig beide mit dem zweiseitigen z-Wert.
- Auf ganze Zahlen runden: Rechts gehören alle $k \geq c$ zum Ablehnungsbereich (also aufrunden), links alle $k \leq c$ (also abrunden).
Beispiel: rechtsseitiger Test
Kündigen mehr Kunden als angegeben?
Ein Streamingdienst gibt an, dass höchstens 15 % seiner Kunden im ersten Jahr kündigen. Eine Verbraucherzeitschrift vermutet mehr und befragt 600 Kunden. Sie möchte den höheren Anteil nachweisen, also gilt $H_0\!: p \leq 0{,}15$ und $H_1\!: p > 0{,}15$ bei $\alpha = 5\,\%$.
1. Kennwerte: $\mu = 600 \cdot 0{,}15 = 90$ und $\sigma = \sqrt{600 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85} = \sqrt{76{,}5} \approx 8{,}746$. Weil $\sigma > 3$ ist, darf genähert werden.
2. Grenze: Für den rechtsseitigen Test bei 5 % ist $z \approx 1{,}645$:
3. Runden: Die kleinste ganze Zahl ab 104,39 ist 105. Also ist $\overline{A} = \{105;\ 106;\ \ldots;\ 600\}$: Kündigen mindestens 105 der 600 Befragten, sieht die Zeitschrift die Angabe als widerlegt an.
Der exakte Binomialtest liefert hier die Grenze 106 – die Näherung weicht um eine Stelle ab. Das passiert, weil die Glockenkurve die Säulen nicht ganz genau trifft.
Ablehnungsbereich: rechts von c liegt eine Fläche von 5 %
Beispiel: zweiseitiger Test
Zeigt das Glücksrad zu oft oder zu selten Rot?
Ein Glücksrad soll in einem Viertel aller Drehungen auf Rot stehen bleiben. Bei 400 Drehungen wird getestet, ob das stimmt: $H_0\!: p = 0{,}25$, $H_1\!: p \neq 0{,}25$, $\alpha = 5\,\%$. Auffällig sind zu wenige und zu viele rote Ergebnisse, deshalb gilt der zweiseitige Wert $z \approx 1{,}96$.
Links wird abgerundet, rechts aufgerundet: $\overline{A} = \{0;\ 1;\ \ldots;\ 83\} \cup \{117;\ 118;\ \ldots;\ 400\}$. Bleibt das Rad höchstens 83-mal oder mindestens 117-mal auf Rot stehen, gilt es als nicht fair. Der exakte Binomialtest ergibt {0; …; 82} ∪ {118; …; 400}.
Fehler 1. und 2. Art mit der Normalverteilung
Auch die Fehlerwahrscheinlichkeiten lassen sich mit der Glockenkurve schätzen. Weil $X$ nur ganze Zahlen annimmt, ersetzt man dabei jede Zahl $k$ durch das Intervall von $k - 0{,}5$ bis $k + 0{,}5$. Diese Stetigkeitskorrektur macht die Näherung deutlich genauer:
Merke: Stetigkeitskorrektur
Fehler beim Test der Verbraucherzeitschrift
Fehler 1. Art: Der Anteil beträgt wirklich 15 %, aber es kündigen zufällig mindestens 105 Befragte:
Fehler 2. Art: In Wahrheit kündigen 20 %. Dann ist $\mu_1 = 600 \cdot 0{,}2 = 120$ und $\sigma_1 = \sqrt{96} \approx 9{,}798$. Die Zeitschrift übersieht das, wenn höchstens 104 Befragte kündigen:
Mit etwa 5,7 % ist der Fehler 2. Art hier klein – bei 600 Befragten fällt ein Anstieg von 15 % auf 20 % fast immer auf.
Achtung: mit oder ohne Korrektur?
Für die Grenze des Ablehnungsbereichs rechnen viele Schulbücher ohne Stetigkeitskorrektur ($c = \mu \pm z \cdot \sigma$), manche verschieben die Grenze um 0,5 nach außen. Halte Dich an die Variante aus Deinem Unterricht. Der Rechner zeigt beide Ergebnisse und zum Vergleich den exakten Binomialtest.
Test für einen Mittelwert (Gauß-Test)
Die Normalverteilung hilft auch, wenn kein Anteil, sondern ein Mittelwert geprüft wird – etwa die Füllmenge von Packungen. Ist das Merkmal normalverteilt mit bekannter Standardabweichung $\sigma$, dann ist auch der Mittelwert $\overline{X}$ von $n$ Messungen normalverteilt. Er streut aber weniger: Seine Standardabweichung ist der Standardfehler $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Merke: Gauß-Test
Rechtsseitig wird $H_0$ abgelehnt, wenn $\overline{x} \geq c$ ist, linksseitig, wenn $\overline{x} \leq c$ ist.
Werden die Packungen zu leicht befüllt?
Eine Maschine füllt Packungen mit einer Sollmenge von 500 g, die Füllmengen streuen mit $\sigma = 4\,\text{g}$. Eine Prüfstelle wiegt 25 Packungen und will nachweisen, dass im Mittel zu wenig eingefüllt wird: $H_0\!: \mu \geq 500$, $H_1\!: \mu < 500$, $\alpha = 5\,\%$.
Liegt der Mittelwert der 25 Packungen bei höchstens 498,68 g, wird $H_0$ abgelehnt. Bei einem gemessenen Mittelwert von $\overline{x} = 498{,}2\,\text{g}$ ist das der Fall – die Packungen sind signifikant zu leicht.
Fehler 2. Art: Füllt die Maschine in Wahrheit im Mittel 498 g ein, wird das nur übersehen, wenn $\overline{x}$ trotzdem über der Grenze liegt: $\beta = P(\overline{X} > 498{,}68) = 1 - \Phi(0{,}86) \approx 0{,}1962$.
Ist $\sigma$ nicht bekannt und wird aus der Stichprobe geschätzt, nimmst Du statt der Normalverteilung die t-Verteilung – das ist der t-Test.
Normalverteilung oder Binomialverteilung?
| Binomialtest (exakt) | Näherung mit der Normalverteilung | |
|---|---|---|
| Rechnung | kumulierte Tabelle oder Taschenrechner, schrittweise Suche | eine Formel: $\mu \pm z \cdot \sigma$ |
| Voraussetzung | keine | Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ |
| Ergebnis | genau, $\alpha$ wird nie überschritten | meist gleich, manchmal um eine Stelle verschoben |
| gut geeignet für | kleine und mittlere $n$ | große $n$, schnelle Abschätzungen, Mittelwerte |
Typische Fehler
- Beim zweiseitigen Test den einseitigen z-Wert verwenden – richtig ist 1,96 statt 1,645 bei $\alpha = 5\,\%$.
- Die Grenze falsch runden: Rechts wird aufgerundet, links abgerundet – sonst wird der Ablehnungsbereich zu groß.
- Beim Mittelwert durch $\sigma$ statt durch den Standardfehler $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ teilen.
- Den Fehler 2. Art mit $p_0$ statt mit dem wahren Anteil rechnen.
Wie Hypothesen aufgestellt werden und wie der exakte Test mit der Binomialverteilung funktioniert, erklärt die Seite Hypothesentest. Werte der Glockenkurve berechnet der Normalverteilung-Rechner.
Übungsaufgaben
Stufe 1 übt $\mu$, $\sigma$ und die Laplace-Bedingung, Stufe 2 den einseitigen Ablehnungsbereich, Stufe 3 den zweiseitigen Test und den Gauß-Test mit Fehler 2. Art. Die z-Werte findest Du oben in der Tabelle.
Stufe 3: Zweiseitig und Test für den Mittelwert
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Aufgabe 1
\(n = 400,\) \(H_0\!: p = 0{,}25,\) \(\alpha = 1\,\%\) (zweiseitig): Grenzen \(k_1 \text{ und } k_2\) des Ablehnungsbereichs?\(k_1;\ k_2\)\(\mu = 100,\) \(\sigma \approx 8{,}66;\) \(\mu \pm 2{,}576 \cdot \sigma \approx 77{,}69 \text{ bzw. } 122{,}31\) \(\Rightarrow\; \overline{A} = \{0;\ 1;\ \ldots;\ 77\} \cup \{123;\ 124;\ \ldots;\ 400\}\)
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Aufgabe 2
Akkulaufzeit, Herstellerangabe \(20\,\text{h},\) \(\sigma = 2\,\text{h},\) \(n = 49,\) \(H_0\!: \mu \geq 20,\) \(\alpha = 5\,\%\): Grenze \(c \text{ für } \overline{x}\text{?}\)\(c \approx\)h\(\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \tfrac{2}{7}\) \(\approx 0{,}2857;\) \(c = 20 - 1{,}645 \cdot 0{,}2857\) \(\approx 19{,}53\) \(\Rightarrow\; H_0\) ablehnen für \(\overline{x} \leq 19{,}53\)
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Aufgabe 3
Kaffeekapseln, Füllmenge \(5\,\text{g},\) \(\sigma = 1\,\text{g},\) \(n = 49,\) \(H_0\!: \mu \leq 5,\) \(\alpha = 5\,\%\). In Wahrheit \(\mu = 5{,}4\,\text{g}\): Fehler 2. Art?\(\beta \approx\)\(c \approx 5{,}235;\) \(\beta = P(\overline{X} < c)\) \(= \Phi\left(\tfrac{5{,}235 - 5{,}4}{0{,}1429}\right)\) \(\approx \Phi(-1{,}16)\) \(\approx 0{,}124\)
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Aufgabe 4
\(n = 200,\) \(H_0\!: p = 0{,}4,\) \(\alpha = 5\,\%\) (zweiseitig): Grenzen \(k_1 \text{ und } k_2\) des Ablehnungsbereichs?\(k_1;\ k_2\)\(\mu = 80,\) \(\sigma \approx 6{,}928;\) \(\mu \pm 1{,}96 \cdot \sigma \approx 66{,}42 \text{ bzw. } 93{,}58\) \(\Rightarrow\; \overline{A} = \{0;\ 1;\ \ldots;\ 66\} \cup \{94;\ 95;\ \ldots;\ 200\}\)
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Aufgabe 5
Akkulaufzeit, Herstellerangabe \(12\,\text{h},\) \(\sigma = 1\,\text{h},\) \(n = 64,\) \(H_0\!: \mu \leq 12,\) \(\alpha = 5\,\%\): Grenze \(c \text{ für } \overline{x}\text{?}\)\(c \approx\)h\(\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \tfrac{1}{8}\) \(= 0{,}125;\) \(c = 12 + 1{,}645 \cdot 0{,}125\) \(\approx 12{,}21\) \(\Rightarrow\; H_0\) ablehnen für \(\overline{x} \geq 12{,}21\)
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Aufgabe 6
Abfüllmaschine, Sollwert \(250\,\text{g},\) \(\sigma = 5\,\text{g},\) \(n = 36,\) \(H_0\!: \mu \leq 250,\) \(\alpha = 5\,\%\). In Wahrheit \(\mu = 252{,}1\,\text{g}\): Fehler 2. Art?\(\beta \approx\)\(c \approx 251{,}371;\) \(\beta = P(\overline{X} < c)\) \(= \Phi\left(\tfrac{251{,}371 - 252{,}1}{0{,}8333}\right)\) \(\approx \Phi(-0{,}88)\) \(\approx 0{,}1907\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Hypothesentest mit der Normalverteilung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Weiterlesen: Gauß-Test, Statistischer Test bei Wikipedia