Konfidenzintervall-Rechner
Aus einer Stichprobe lässt sich ein unbekannter Anteil $p$ oder Mittelwert $\mu$ nicht genau bestimmen – aber man kann ein Intervall angeben, das ihn mit hoher Sicherheit enthält. Der Rechner bestimmt Konfidenzintervalle für Anteile und Mittelwerte und sagt Dir, wie groß die Stichprobe für eine gewünschte Genauigkeit sein muss.
Die Formeln
| gesucht | Formel | Hinweis |
|---|---|---|
| Anteil, Wald | $h \pm z \cdot \sqrt{\dfrac{h(1 - h)}{n}}$ | einfach; nur gut, wenn $n \cdot h \cdot (1 - h) > 9$ |
| Anteil, Wilson | $\dfrac{h + \frac{z^2}{2n} \pm z\sqrt{\frac{h(1 - h)}{n} + \frac{z^2}{4n^2}}}{1 + \frac{z^2}{n}}$ | löst $|h - p| \le z\sqrt{p(1 - p)/n}$ nach $p$; auch für kleine $n$ und $h$ nahe 0 oder 1 |
| Mittelwert, σ bekannt | $\bar{x} \pm z \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ | Normalverteilung |
| Mittelwert, σ geschätzt | $\bar{x} \pm t_{n-1} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ | t-Verteilung mit $n - 1$ Freiheitsgraden, $s$ mit $n - 1$ berechnet |
| Umfang für einen Anteil | $n \ge \dfrac{z^2 \cdot p(1 - p)}{e^2}$ | ohne Vorwissen $p = 0{,}5$ (größtmöglich) |
| Umfang für einen Mittelwert | $n \ge \left(\dfrac{z \cdot \sigma}{e}\right)^2$ | immer aufrunden |
| Vertrauensniveau γ | 80 % | 90 % | 95 % | 98 % | 99 % | 99,9 % |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $z$ | 1,282 | 1,645 | 1,960 | 2,326 | 2,576 | 3,291 |
Was bedeutet ein 95-%-Konfidenzintervall?
Das Verfahren liefert bei 95 von 100 Stichproben ein Intervall, das den wahren Wert enthält. Für ein einzelnes, schon berechnetes Intervall heißt das nicht, dass $p$ „mit 95 % Wahrscheinlichkeit“ darin liegt – $p$ ist eine feste Zahl, zufällig ist nur die Stichprobe. Ein höheres Vertrauensniveau macht das Intervall breiter; ein größeres $n$ macht es schmaler, und zwar mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$: Für die halbe Breite braucht man den vierfachen Stichprobenumfang.
Wald oder Wilson?
Bei 3 Treffern in 30 Versuchen ($h = 0{,}1$) liefert Wald mit 95 % das Intervall $[-0{,}007;\ 0{,}207]$ – eine negative Untergrenze ist für einen Anteil sinnlos. Wilson ergibt $[0{,}035;\ 0{,}256]$ und bleibt immer zwischen 0 und 1. Bei großen Stichproben stimmen beide fast überein.
Wie man Konfidenzintervalle mit den Sigma-Regeln von Hand bestimmt und wie Prognoseintervalle funktionieren, erklärt die Seite Sigma-Regeln und Konfidenzintervall. Den Hintergrund zur t-Verteilung findest Du beim t-Test, Werte der Normalverteilung im Normalverteilung-Rechner.
Online üben
Gib die Grenzen eines Intervalls mit Semikolon getrennt an, z. B. 0,189; 0,271. Beim Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl gesucht – aufrunden nicht vergessen.
Stufe 2: Mittelwert und Wilson
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Aufgabe 1
\(n = 40,\) \(k = 12,\) \(\gamma = 99\,\%:\) Wilson-Intervall für \(p?\)\(untere Grenze; obere Grenze\)\(h = 0{,}3;\) \(\text{Mitte} \approx 0{,}3285\) \(\Rightarrow \left[0{,}153;\ 0{,}504\right]\)
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Aufgabe 2
\(n = 30,\) \(k = 2,\) \(\gamma = 99\,\%:\) Wilson-Intervall für \(p?\)\(untere Grenze; obere Grenze\)\(h = 0{,}0667;\) \(\text{Mitte} \approx 0{,}1452\) \(\Rightarrow \left[0{,}013;\ 0{,}277\right]\)
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Aufgabe 3
\(\bar{x} = 32,\) \(\sigma = 3{,}4,\) \(n = 25,\) \(\gamma = 95\,\%:\) Intervall für \(\mu?\)\(untere Grenze; obere Grenze\)\(e = 1{,}96 \cdot \frac{3{,}4}{\sqrt{25}}\) \(\approx 1{,}333\) \(\Rightarrow \left[30{,}667;\ 33{,}333\right]\)
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Aufgabe 4
\(\bar{x} = 153,\) \(s = 38,\) \(n = 15,\) \(\gamma = 95\,\%,\) \(t = 2{,}145:\) Intervall für \(\mu?\)\(untere Grenze; obere Grenze\)\(e = 2{,}145 \cdot \frac{38}{\sqrt{15}}\) \(\approx 21{,}046\) \(\Rightarrow \left[131{,}954;\ 174{,}046\right]\)
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Aufgabe 5
\(\bar{x} = 26{,}8,\) \(\sigma = 1{,}7,\) \(n = 144,\) \(\gamma = 95\,\%:\) Intervall für \(\mu?\)\(untere Grenze; obere Grenze\)\(e = 1{,}96 \cdot \frac{1{,}7}{\sqrt{144}}\) \(\approx 0{,}278\) \(\Rightarrow \left[26{,}522;\ 27{,}078\right]\)
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Aufgabe 6
\(n = 20,\) \(k = 4,\) \(\gamma = 99\,\%:\) Wilson-Intervall für \(p?\)\(untere Grenze; obere Grenze\)\(h = 0{,}2;\) \(\text{Mitte} \approx 0{,}2747\) \(\Rightarrow \left[0{,}062;\ 0{,}488\right]\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Konfidenzintervalle und Stichprobenumfang
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Weiterlesen: Konfidenzintervall, Konfidenzintervall für die Erfolgswahrscheinlichkeit der Binomialverteilung bei Wikipedia