Regression und Korrelation
Wer länger lernt, schreibt meist bessere Noten – aber wie eng hängen zwei Größen wirklich zusammen? Und welche Gerade passt am besten durch eine Punktwolke? Die Korrelation misst, wie stark zwei Merkmale linear zusammenhängen. Die lineare Regression liefert die Gerade, mit der Du aus dem einen Merkmal das andere schätzen kannst.
Das Streudiagramm
Hast Du zu jeder Person (jedem Tag, jedem Versuch) zwei Messwerte $x_i$ und $y_i$, trägst Du jedes Paar als Punkt $(x_i \mid y_i)$ in ein Koordinatensystem ein. So entsteht eine Punktwolke. Schon das Bild zeigt viel: Steigt die Wolke nach rechts an, fällt sie ab oder ist kein Muster zu erkennen?
Beispiel: Lernzeit und Punkte
Sechs Personen haben notiert, wie viele Stunden sie für einen Test gelernt haben ($x$) und wie viele Punkte sie erreicht haben ($y$):
| Lernzeit $x_i$ in h | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Punkte $y_i$ | 43 | 61 | 64 | 62 | 65 | 83 |
Die Punkte steigen nach rechts an. Die rote Gerade ist die Regressionsgerade, die wir unten berechnen; gestrichelt die Abstände der Punkte zur Geraden, das Kreuz ist der Schwerpunkt $S(\bar{x} \mid \bar{y})$, der Kreis eine Prognose für 4,5 Stunden.
Die Kovarianz
Ein Punkt rechts oben vom Schwerpunkt hat einen überdurchschnittlichen x- und y-Wert: Beide Abweichungen $x_i - \bar{x}$ und $y_i - \bar{y}$ sind positiv, ihr Produkt auch. Links unten sind beide negativ – das Produkt ist wieder positiv. Punkte links oben oder rechts unten liefern dagegen ein negatives Produkt. Der Mittelwert dieser Produkte heißt Kovarianz:
- $s_{xy} > 0$: Große x-Werte treten meist mit großen y-Werten auf (positiver Zusammenhang).
- $s_{xy} < 0$: Große x-Werte treten meist mit kleinen y-Werten auf (negativer Zusammenhang).
- $s_{xy} \approx 0$: kein linearer Zusammenhang erkennbar.
Die Größe der Kovarianz hängt von den Einheiten ab (Stunden mal Punkte) – ob 17,5 „viel“ ist, kann man daran allein nicht ablesen. Dafür gibt es den Korrelationskoeffizienten.
Der Korrelationskoeffizient $r$
Teilt man die Kovarianz durch die beiden Standardabweichungen, erhält man den Korrelationskoeffizienten nach Pearson. Er hat keine Einheit und liegt immer zwischen $-1$ und $1$:
| Wert von $r$ | Bedeutung (Faustregel) |
|---|---|
| $r = 1$ bzw. $r = -1$ | Alle Punkte liegen genau auf einer steigenden bzw. fallenden Geraden. |
| $0{,}8 \leq |r| < 1$ | starker linearer Zusammenhang |
| $0{,}5 \leq |r| < 0{,}8$ | mittlerer linearer Zusammenhang |
| $|r| < 0{,}5$ | schwacher linearer Zusammenhang |
| $r \approx 0$ | kein linearer Zusammenhang |
Das Vorzeichen gibt die Richtung an: positiv heißt „je mehr, desto mehr“, negativ „je mehr, desto weniger“. Die Grenzen 0,5 und 0,8 sind nur grobe Richtwerte; in verschiedenen Fächern werden sie unterschiedlich gezogen.
Die Regressionsgerade: Methode der kleinsten Quadrate
Gesucht ist die Gerade $\hat{y} = m \cdot x + b$, die „am besten“ durch die Punktwolke passt. Für jeden Punkt ist der senkrechte Abstand zur Geraden, das Residuum $y_i - \hat{y}_i$, ein kleiner Fehler. Die Regressionsgerade ist die Gerade, bei der die Summe der quadrierten Residuen am kleinsten ist. Mit etwas Analysis ergibt sich daraus:
Merke
Die Regressionsgerade geht immer durch den Schwerpunkt $S(\bar{x} \mid \bar{y})$ der Punktwolke. Ihre Steigung ist die Kovarianz geteilt durch die Varianz der x-Werte. Ob Du dabei durch $n$ oder $n - 1$ teilst, ist egal – der Faktor kürzt sich weg.
Schritt für Schritt
Beispiel: Lernzeit und Punkte
1. Mittelwerte: $\bar{x} = \frac{21}{6} = 3{,}5$ und $\bar{y} = \frac{378}{6} = 63$.
2. Arbeitstabelle: Abweichungen, ihre Quadrate und Produkte:
| $i$ | $x_i$ | $y_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $y_i - \bar{y}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ | $(y_i - \bar{y})^2$ | $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 43 | -2,5 | -20 | 6,25 | 400 | 50 |
| 2 | 2 | 61 | -1,5 | -2 | 2,25 | 4 | 3 |
| 3 | 3 | 64 | -0,5 | 1 | 0,25 | 1 | -0,5 |
| 4 | 4 | 62 | 0,5 | -1 | 0,25 | 1 | -0,5 |
| 5 | 5 | 65 | 1,5 | 2 | 2,25 | 4 | 3 |
| 6 | 6 | 83 | 2,5 | 20 | 6,25 | 400 | 50 |
| $\sum$ | 21 | 378 | 0 | 0 | 17,5 | 810 | 105 |
3. Varianz und Kovarianz (Summen durch $n = 6$):
$s_x^2 = \frac{17{,}5}{6} = \frac{35}{12} \approx 2{,}9167$, $\quad s_y^2 = \frac{810}{6} = 135$, $\quad s_{xy} = \frac{105}{6} = 17{,}5$
4. Steigung und Achsenabschnitt:
$m = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = \frac{105}{17{,}5} = 6$ und $b = \bar{y} - m \cdot \bar{x} = 63 - 6 \cdot 3{,}5 = 42$.
Die Regressionsgerade lautet $\hat{y} = 6x + 42$. Deutung: Pro zusätzlicher Stunde Lernen steigt die Punktzahl im Schnitt um 6 Punkte.
5. Korrelationskoeffizient: $r = \frac{105}{\sqrt{17{,}5 \cdot 810}} \approx 0{,}8819$ – ein starker positiver linearer Zusammenhang.
Tipp
Die Summen der Abweichungen sind immer 0 – eine gute Kontrolle für Deine Tabelle. Viele Taschenrechner haben einen Statistik-Modus für „lineare Regression“ (oft LinReg oder y = a + bx). Achte dort darauf, welcher Buchstabe die Steigung ist. Den vollständigen Rechenweg zu eigenen Daten zeigt Dir der Regressionsrechner.
Das Bestimmtheitsmaß $R^2$
Quadriert man den Korrelationskoeffizienten, erhält man das Bestimmtheitsmaß $R^2 = r^2$. Es liegt zwischen 0 und 1 und gibt an, welcher Anteil der Streuung der y-Werte durch die Regressionsgerade erklärt wird:
Im Beispiel ist $R^2 = \frac{7}{9} \approx 0{,}7778$: Etwa 78 % der Unterschiede in den Punktzahlen lassen sich durch die unterschiedliche Lernzeit erklären, die restlichen 22 % durch anderes (Vorwissen, Tagesform, Zufall …).
Prognosen mit der Regressionsgeraden
Setzt Du einen x-Wert in die Geradengleichung ein, erhältst Du einen Schätzwert $\hat{y}$. Für 4,5 Stunden Lernzeit: $\hat{y} = 6 \cdot 4{,}5 + 42 = 69$ Punkte.
Achtung: Extrapolation
Prognosen sind nur im Bereich der gemessenen x-Werte einigermaßen verlässlich (hier 1 bis 6 Stunden). Wer weit darüber hinaus rechnet, bekommt schnell Unsinn: Für 12 Stunden ergäbe sich $\hat{y} = 6 \cdot 12 + 42 = 114$ Punkte – obwohl der Test vielleicht nur 100 Punkte hat. Der Zusammenhang muss außerhalb der Daten nicht linear weitergehen.
Korrelation ist keine Kausalität
Ein großer Wert von $|r|$ zeigt nur, dass zwei Größen gemeinsam steigen oder fallen. Er beweist nicht, dass die eine die andere verursacht. Häufige Gründe für eine Korrelation ohne direkte Ursache:
- Dritte Größe: An heißen Tagen wird mehr Eis verkauft und es gibt mehr Sonnenbrände. Eis verursacht keinen Sonnenbrand – beides hängt vom Wetter ab.
- Umgekehrte Richtung: Wer häufiger zum Arzt geht, ist oft kränker. Das liegt nicht am Arzt, sondern umgekehrt: Kranke gehen öfter zum Arzt.
- Zufall: Bei wenigen Datenpunkten oder sehr vielen durchsuchten Merkmalen entstehen „Scheinkorrelationen“, die nichts bedeuten.
$r$ misst nur lineare Zusammenhänge
Beispiel: Punkte auf einer Parabel
Die Punkte $(-3 \mid 9)$, $(-2 \mid 4)$, $(-1 \mid 1)$, $(0 \mid 0)$, $(1 \mid 1)$, $(2 \mid 4)$, $(3 \mid 9)$ liegen alle genau auf der Parabel $y = x^2$. Trotzdem ist die Kovarianz $s_{xy} = 0$ und damit auch $r = 0$. Die Regressionsgerade ist waagerecht: $\hat{y} = 4$.
Schau Dir deshalb immer zuerst das Streudiagramm an. Ist die Punktwolke gekrümmt, passt eine quadratische Funktion oder eine Exponentialfunktion oft besser als eine Gerade. Ein einzelner Ausreißer kann $r$ und die Gerade außerdem stark verschieben.
Geht es nur darum, ob y mit x steigt oder fällt – auch auf einer Kurve –, oder hast Du nur Platzierungen und Noten, misst die Rangkorrelation nach Spearman und Kendall den Zusammenhang über die Ränge.
Solche Kurven lassen sich genauso nach der Methode der kleinsten Quadrate anpassen: Der Regressionsrechner kann auch quadratisch, exponentiell, mit einer Potenzfunktion und logarithmisch rechnen. Exponential- und Logarithmusmodelle werden dabei linearisiert: Aus $y = a \cdot b^x$ wird $\ln y = \ln a + x \cdot \ln b$, eine Gerade in $x$ und $\ln y$. Welches Modell besser passt, zeigt das Bestimmtheitsmaß $R^2$.
Typische Fehler
- Steigung falsch herum: $m = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$ – im Nenner steht die Varianz der x-Werte, nicht die der y-Werte.
- $b$ vergessen: Erst nach $m$ kommt $b = \bar{y} - m \cdot \bar{x}$. Kontrolle: Der Schwerpunkt muss auf der Geraden liegen.
- $r$ und $R^2$ verwechselt: $r = 0{,}9$ heißt $R^2 = 0{,}81$, also 81 % erklärte Streuung – nicht 90 %.
- Zu früh gerundet: Gerundete Mittelwerte machen die ganze Tabelle ungenau. Rechne mit Brüchen oder vielen Nachkommastellen.
- Kausal gedeutet: Ein hohes $r$ ist kein Beweis für Ursache und Wirkung.
Für eine einzelne Datenreihe findest Du Mittelwert, Median und Standardabweichung im Statistik-Rechner. Wie man eine Gerade durch zwei Punkte legt, zeigt der Geradengleichung-Rechner.
Online üben
Rechne mit den Formeln oben. Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen runden, mehrere Werte mit Semikolon trennen (z. B. 0,95; 0,9 für $r$ und $R^2$). Geradengleichungen kannst Du als y = 1,5x + 2 eingeben.
Stufe 1: Mittelwerte und Kovarianz
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Aufgabe 1
\((3|-9);\) \((5|-9);\) \((7|-19);\) \((9|-29);\) \((11|-29):\) \(\bar{x},\) \(\bar{y}\)\(\bar{x} = 7;\ \ \bar{y} = -19\)
-
Aufgabe 2
\((0|-1);\) \((2|-3);\) \((4|-5);\) \((6|-7):\) \(\bar{x},\) \(\bar{y}\)\(\bar{x} = 3;\ \ \bar{y} = -4\)
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Aufgabe 3
\((6|0);\) \((7|-4);\) \((8|-6);\) \((9|-6):\) \(s_{xy} = ?\)\(s_{xy} =\)\(\bar{x} = 7{,}5,\ \bar{y} = -4;\ \ s_{xy} = -2{,}5\)
-
Aufgabe 4
\((2|1);\) \((3|2);\) \((4|3);\) \((5|4):\) \(\bar{x},\) \(\bar{y}\)\(\bar{x} = 3{,}5;\ \ \bar{y} = 2{,}5\)
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Aufgabe 5
\((2|-7);\) \((7|-19);\) \((12|-29);\) \((17|-37):\) \(\bar{x},\) \(\bar{y}\)\(\bar{x} = 9{,}5;\ \ \bar{y} = -23\)
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Aufgabe 6
\((2|7);\) \((7|-2);\) \((12|-7);\) \((17|-8):\) \(s_{xy} = ?\)\(s_{xy} =\)\(\bar{x} = 9{,}5,\) \(\bar{y} = -2{,}5;\) \(s_{xy} = -31{,}25\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Regression und Korrelation
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–13.
Weiterlesen: Lineare Regression, Korrelationskoeffizient bei Wikipedia