Kombinatorik-Aufgaben nach Typen
Die meisten Zählaufgaben lassen sich auf ein einziges Bild zurückführen: Aus einer Urne mit $n$ Kugeln wird $k$-mal gezogen. Ob Du die passende Formel findest, hängt nur an zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an? Darf ein Element mehrfach vorkommen? Die Formeln selbst erklärt die Seite Kombinatorik – hier geht es ums richtige Einordnen.
Entscheidungsbaum: Welche Formel passt?
Frage 1: Kommt es auf die Reihenfolge an?
Frage 2: Darf ein Element mehrfach vorkommen (mit Zurücklegen)?
Übung: Ordne die Aufgabe zu und rechne
Die vier Fälle auf einen Blick
| mit Wiederholung (mit Zurücklegen) | ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen) | |
|---|---|---|
| mit Reihenfolge | $n^k$ Zahlenschloss, Würfel mehrmals werfen | $\dfrac{n!}{(n - k)!} = n \cdot (n - 1) \cdots (n - k + 1)$ Siegerpodest, Ämter verteilen |
| ohne Reihenfolge | $\dbinom{n + k - 1}{k}$ Eiskugeln im Becher, Brötchentüte | $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$ Lotto, Gruppe auswählen |
Sonderfall: Werden alle $n$ Elemente angeordnet ($k = n$), gibt es $n! = n \cdot (n - 1) \cdots 2 \cdot 1$ Möglichkeiten (Permutationen).
Signalwörter im Aufgabentext
| Frage | spricht für „ja“ | spricht für „nein“ |
|---|---|---|
| Reihenfolge wichtig? | Platz 1, 2, 3 · Code, PIN, Passwort · nacheinander notiert · verschiedene Ämter · Sitzordnung | Gruppe, Team, Ausschuss · mit einem Griff · gleichzeitig · Auswahl · „welche“ statt „in welcher Reihenfolge“ |
| Wiederholung erlaubt? | mit Zurücklegen · beliebig oft · Ziffern dürfen sich wiederholen · mehrmals werfen | ohne Zurücklegen · verschiedene · jede Person höchstens einmal · Karten ziehen |
Test für die Reihenfolge: Vertausche in einem Ergebnis zwei Elemente. Ist das ein anderes Ergebnis (aus „Anna Gold, Ben Silber“ wird „Ben Gold, Anna Silber“), zählt die Reihenfolge. Ist es dasselbe (Team „Anna und Ben“ = Team „Ben und Anna“), zählt sie nicht.
Je ein Beispiel pro Typ
Mit Reihenfolge, mit Wiederholung: Ein Fahrradschloss hat 4 Rädchen mit den Ziffern 0–9. Jede Stelle hat 10 Möglichkeiten: $10^4 = 10\,000$ Codes.
Mit Reihenfolge, ohne Wiederholung: 9 Bands bewerben sich für 3 Auftritte am Abend (1., 2. und 3. Slot). $9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$ Programme.
Ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung: Aus 9 Bands werden 3 für ein Festival eingeladen – wann sie spielen, ist noch offen. $\binom{9}{3} = \frac{504}{3!} = 84$ Möglichkeiten. Jede Auswahl wurde oben $3! = 6$-mal gezählt.
Ohne Reihenfolge, mit Wiederholung: Ein Smoothie wird aus 3 Portionen gemixt, es gibt 5 Obstsorten, Sorten dürfen doppelt vorkommen. $\binom{5 + 3 - 1}{3} = \binom{7}{3} = 35$ Smoothies.
Zusammengesetzte Aufgaben
- Produktregel: Werden zwei unabhängige Auswahlen getroffen, multiplizierst Du. 2 von 8 Mädchen und 2 von 10 Jungen: $\binom{8}{2} \cdot \binom{10}{2} = 28 \cdot 45 = 1260$ Teams.
- Gleiche Elemente: Aus den Buchstaben von OTTO lassen sich $\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$ verschiedene „Wörter“ legen – man teilt durch die Vertauschungen gleicher Buchstaben.
- Nebeneinander: Sollen zwei Personen in einer Reihe von 6 nebeneinander sitzen, fasst Du sie als Block zusammen: $5! \cdot 2 = 240$.
- Erste Ziffer nicht 0: Vierstellige Zahlen gibt es $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$.
Rechnen kannst Du alle Fälle mit dem Kombinatorik-Rechner. Wahrscheinlichkeiten wie „Wie wahrscheinlich sind 3 Richtige?“ bekommst Du, wenn Du günstige durch mögliche Fälle teilst – mehr dazu bei der Wahrscheinlichkeit und der Binomialverteilung.
Online üben
Stufe 2: alle vier Fälle
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Aufgabe 1
Bei einem Gewinnspiel kreuzt man 5 von 31 Zahlen an (Reihenfolge egal). Wie viele Tipps gibt es?ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung: (31 über 5) = 169 911
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Aufgabe 2
Aus 8 Liedern werden 2 für eine Playlist ausgewählt und in eine Reihenfolge gebracht. Wie viele Playlists gibt es?mit Reihenfolge, ohne Wiederholung: 8 · 7 = 56
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Aufgabe 3
Ein Code besteht aus 3 Zeichen. Jedes Zeichen ist einer von 26 Buchstaben, Wiederholungen sind erlaubt. Wie viele Codes gibt es?mit Reihenfolge, mit Wiederholung: 26^3 = 17 576
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Aufgabe 4
Ein Würfel wird 3-mal geworfen, die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Wie viele Ergebnisse gibt es?mit Reihenfolge, mit Wiederholung: 6^3 = 216
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Aufgabe 5
Ein Zahlenschloss hat 5 Rädchen mit den Ziffern 0 bis 9. Wie viele Einstellungen gibt es?mit Reihenfolge, mit Wiederholung: 10^5 = 100 000
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kombinatorik nach Typen (Urnenmodell)
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–11.
Weiterlesen: Urnenmodell bei Wikipedia