Kl. 13

Chi-Quadrat-Test

Ist ein Würfel fair, wenn bei 120 Würfen die Vier 25-mal und die Eins nur 14-mal fällt? Hängt die Konzentration im Test davon ab, ob jemand gefrühstückt hat? Bei solchen Fragen geht es um Häufigkeiten in Kategorien. Der Chi-Quadrat-Test (χ²-Test) vergleicht die beobachteten Häufigkeiten mit denen, die man erwarten würde, wenn die Nullhypothese stimmt.

Die Idee: beobachtet gegen erwartet

Für jede Kategorie wird die Abweichung zwischen beobachteter Häufigkeit $B$ und erwarteter Häufigkeit $E$ quadriert und durch $E$ geteilt. Die Summe dieser Beiträge ist die Testgröße:

Merke: Testgröße

\[\chi^2 = \sum \frac{(B - E)^2}{E}\]

Kleine Werte bedeuten: Die Daten passen gut zur Nullhypothese. Große Werte sprechen gegen sie – der Test ist deshalb immer rechtsseitig.
Unter $H_0$ ist $\chi^2$ näherungsweise Chi-Quadrat-verteilt. Die Form der Verteilung hängt von der Zahl der Freiheitsgrade $df$ ab.
Faustregel: Jede erwartete Häufigkeit sollte mindestens 5 sein, sonst Kategorien zusammenfassen.

df = 1 df = 3 df = 5 df = 10

Der Erwartungswert der χ²-Verteilung ist genau $df$. Ein Wert von $\chi^2$, der deutlich über der Zahl der Freiheitsgrade liegt, ist also verdächtig.

Anpassungstest

Der Anpassungstest prüft, ob Daten zu einer vorgegebenen Verteilung passen. Bei $k$ Kategorien gibt es $df = k - 1$ Freiheitsgrade – eine Häufigkeit ist ja festgelegt, sobald die übrigen und die Summe bekannt sind. Werden Parameter der Verteilung erst aus den Daten geschätzt, zieht man für jeden noch einen Freiheitsgrad ab – etwa bei der Anpassung an eine Poisson-Verteilung, deren Mittelwert λ aus den Daten stammt. Warum das so ist, erklärt die Seite Freiheitsgrade.

Ist der Würfel fair?

120 Würfe ergaben diese Häufigkeiten:

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
beobachtet $B$	14	22	19	25	16	24
erwartet $E$	20	20	20	20	20	20
$\frac{(B - E)^2}{E}$	1,8	0,2	0,05	1,25	0,8	0,8

$H_0$: Jede Augenzahl hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$, also $E = 120 \cdot \frac{1}{6} = 20$. Die Summe der letzten Zeile ist $\chi^2 = 4{,}9$. Bei $df = 5$ und $\alpha = 5\,\%$ liegt der kritische Wert bei 11,07. Weil $\chi^2$ deutlich darunter liegt, gibt es keinen Grund, an der Fairness zu zweifeln (p-Wert $\approx 0{,}4282$). Die Vier ist nur zufällig etwas häufiger gefallen.

Stimmt die Mischung der Bonbontüte?

Ein Hersteller gibt an: 50 % rote, 30 % gelbe und 20 % grüne Bonbons. In 200 Bonbons zählt eine Klasse 88 rote, 72 gelbe und 40 grüne. Erwartet wären $100$, $60$ und $40$:

\[\chi^2 = \frac{(88 - 100)^2}{100} + \frac{(72 - 60)^2}{60} + \frac{(40 - 40)^2}{40} = 1{,}44 + 2{,}4 + 0 = 3{,}84\]

Mit $df = 2$ ist der kritische Wert 5,991. Weil 3,84 kleiner ist, passt die Zählung noch zur Angabe des Herstellers – auch wenn deutlich mehr gelbe Bonbons dabei waren als erwartet.

Unabhängigkeitstest

Beim Unabhängigkeitstest werden zwei Merkmale gleichzeitig erfasst und in einer Kontingenztafel gezählt. Die Nullhypothese lautet: Die Merkmale sind unabhängig. Dann ergibt sich jede erwartete Häufigkeit aus den Randsummen:

Merke: Unabhängigkeitstest

\[E_{ij} = \frac{\text{Zeilensumme}_i \cdot \text{Spaltensumme}_j}{N} \qquad df = (r - 1) \cdot (c - 1)\]

Dabei ist $r$ die Zahl der Zeilen und $c$ die Zahl der Spalten. Eine Vierfeldertafel hat also nur einen Freiheitsgrad.

Hilft ein Frühstück bei der Konzentration?

130 Schülerinnen und Schüler wurden gefragt, ob sie gefrühstückt haben, und ihre Leistung in einem Konzentrationstest wurde notiert:

	Konzentration gut	Konzentration schwach	Summe
mit Frühstück	48 (E ≈ 40,38)	22 (E ≈ 29,62)	70
ohne Frühstück	27 (E ≈ 34,62)	33 (E ≈ 25,38)	60
Summe	75	55	130

Zum Beispiel ist $E_{11} = \frac{70 \cdot 75}{130} \approx 40{,}38$. Für die Vierfeldertafel gibt es eine Kurzformel, die ohne die erwarteten Häufigkeiten auskommt:

\[\chi^2 = \frac{N \cdot (a d - b c)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)} = \frac{130 \cdot (48 \cdot 33 - 22 \cdot 27)^2}{70 \cdot 60 \cdot 75 \cdot 55} \approx 7{,}354\]

Der kritische Wert für $df = 1$ und $\alpha = 5\,\%$ ist 3,841. Die Testgröße liegt darüber: Frühstück und Konzentration hängen in diesen Daten signifikant zusammen (p $\approx 0{,}0067$).

Wie stark der Zusammenhang ist, beschreibt Cramérs V $= \sqrt{\chi^2 : (N \cdot (\min(r, c) - 1))} \approx 0{,}24$ – ein eher schwacher bis mittlerer Zusammenhang. Ob das Frühstück die Ursache ist, sagt der Test übrigens nicht: Er zeigt nur, dass die Merkmale nicht unabhängig sind.

Eine ältere Maßzahl ist der Kontingenzkoeffizient $C = \sqrt{\chi^2 : (\chi^2 + N)} \approx 0{,}23$. Er kann die 1 nie erreichen – bei einer Vierfeldertafel höchstens $\sqrt{1 : 2} \approx 0{,}71$. Deshalb teilt man durch diesen Höchstwert und erhält den korrigierten Kontingenzkoeffizienten $C_{korr} \approx 0{,}33$.

Typische Fehler

Prozentwerte statt absoluter Häufigkeiten einsetzen – der Test braucht Anzahlen.
Durch $B$ statt durch $E$ teilen.
Die Freiheitsgrade falsch zählen: Anpassung $k - 1$, Unabhängigkeit $(r - 1)(c - 1)$.
Erwartete Häufigkeiten unter 5 übersehen – dann ist die χ²-Näherung unzuverlässig.

Kritische Werte der χ²-Verteilung

Die Tabelle enthält die Werte, ab denen $H_0$ abgelehnt wird. Bei $df = 1$ und $\alpha = 5\,\%$ ist das zum Beispiel 3,841 – genau das Quadrat von 1,96.

df	α = 10 %	α = 5 %	α = 1 %	α = 0,1 %
1	2,706	3,841	6,635	10,828
2	4,605	5,991	9,210	13,816
3	6,251	7,815	11,345	16,266
4	7,779	9,488	13,277	18,467
5	9,236	11,070	15,086	20,515
6	10,645	12,592	16,812	22,458
7	12,017	14,067	18,475	24,322
8	13,362	15,507	20,090	26,124
9	14,684	16,919	21,666	27,877
10	15,987	18,307	23,209	29,588
12	18,549	21,026	26,217	32,909
15	22,307	24,996	30,578	37,697
20	28,412	31,410	37,566	45,315
25	34,382	37,652	44,314	52,620
30	40,256	43,773	50,892	59,703

Beliebige Tafeln und Verteilungen mit Arbeitstabelle, p-Wert und Grafik rechnet der Chi-Quadrat-Rechner. Wie man bedingte Wahrscheinlichkeiten in einer Vierfeldertafel liest, erklärt die Seite Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel. Mittelwerte statt Häufigkeiten vergleicht der t-Test, mehrere Mittelwerte auf einmal die Varianzanalyse.

Liegen bei einer Vierfeldertafel erwartete Häufigkeiten unter 5, ist die χ²-Näherung unzuverlässig. Dann rechnet der exakte Test nach Fisher ohne Näherung.

Übungsaufgaben

Stufe 1: Anpassungstest auf Gleichverteilung, Stufe 2: Anpassungstest mit vorgegebenen Anteilen, Stufe 3: Unabhängigkeitstest mit der Vierfeldertafel. Die Entscheidung mit dem kritischen Wert steht jeweils in der Lösung.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: Anpassungstest (Gleichverteilung)

Aufgabe 1
Geburten nach Wochentag, $140 \text{ Kinder: }23;$ $20;$ $19;$ $19;$ $19;$ $24;$ $16$. Testgröße $\chi^2$ für die Gleichverteilung?

$\chi^2 \approx$

$E = \tfrac{140}{7}$ $= 20;$ $\chi^2 = \tfrac{44}{20}$ $= 2{,}2;$ $df = 6,$ $\chi^2_{6;\,0{,}95}$ $\approx 12{,}59$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen
Aufgabe 2
Ziffern 0 bis 9, $100$ Zufallsziffern: $12;$ $11;$ $12;$ $8;$ $9;$ $9;$ $11;$ $12;$ $8;$ $8$. Testgröße $\chi^2$ für die Gleichverteilung?

$\chi^2 \approx$

$E = \tfrac{100}{10}$ $= 10;$ $\chi^2 = \tfrac{28}{10}$ $= 2{,}8;$ $df = 9,$ $\chi^2_{9;\,0{,}95}$ $\approx 16{,}92$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen
Aufgabe 3
$\text{Münze, } 200$ Würfe (Kopf; Zahl): $101;$ $99$. Testgröße $\chi^2$ für die Gleichverteilung?

$\chi^2 \approx$

$E = \tfrac{200}{2}$ $= 100;$ $\chi^2 = \tfrac{2}{100}$ $= 0{,}02;$ $df = 1,$ $\chi^2_{1;\,0{,}95}$ $\approx 3{,}84$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen
Aufgabe 4
$\text{Münze, } 50$ Würfe (Kopf; Zahl): $29;$ $21$. Testgröße $\chi^2$ für die Gleichverteilung?

$\chi^2 \approx$

$E = \tfrac{50}{2} = 25;$ $\chi^2 = \tfrac{32}{25}$ $= 1{,}28;$ $df = 1,$ $\chi^2_{1;\,0{,}95}$ $\approx 3{,}84$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen
Aufgabe 5
Ziffern 0 bis 9, $100$ Zufallsziffern: $11;$ $12;$ $9;$ $7;$ $8;$ $8;$ $8;$ $10;$ $7;$ $20$. Testgröße $\chi^2$ für die Gleichverteilung?

$\chi^2 \approx$

$E = \tfrac{100}{10}$ $= 10;$ $\chi^2 = \tfrac{136}{10}$ $= 13{,}6;$ $df = 9,$ $\chi^2_{9;\,0{,}95}$ $\approx 16{,}92$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen
Aufgabe 6
Ziffern 0 bis 9, $100$ Zufallsziffern: $7;$ $8;$ $13;$ $9;$ $6;$ $12;$ $10;$ $8;$ $14;$ $13$. Testgröße $\chi^2$ für die Gleichverteilung?

$\chi^2 \approx$

$E = \tfrac{100}{10}$ $= 10;$ $\chi^2 = \tfrac{72}{10}$ $= 7{,}2;$ $df = 9,$ $\chi^2_{9;\,0{,}95}$ $\approx 16{,}92$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Chi-Quadrat-Test

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.

Wie stark ein Zusammenhang ist, üben die Aufgaben zu Cramérs V und zum Kontingenzkoeffizienten:

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: Cramérs V aus χ²

Aufgabe 1
Kontingenztafel mit 2 Zeilen und 4 Spalten: $\chi^2 = 50{,}78,$ $N = 240$. Cramérs $V\text{?}$

$V \approx$

$k = \min(2;\ 4)$ $= 2;$ $V = \sqrt{\tfrac{50{,}78}{240 \cdot 1}}$ $\approx 0{,}46$ $\Rightarrow$ mittlerer Zusammenhang
Aufgabe 2
Kontingenztafel mit 4 Zeilen und 3 Spalten: $\chi^2 = 115{,}6,$ $N = 500$. Cramérs $V\text{?}$

$V \approx$

$k = \min(4;\ 3)$ $= 3;$ $V = \sqrt{\tfrac{115{,}6}{500 \cdot 2}}$ $= 0{,}34$ $\Rightarrow$ mittlerer Zusammenhang
Aufgabe 3
Kontingenztafel mit 2 Zeilen und 5 Spalten: $\chi^2 = 2{,}7,$ $N = 120$. Cramérs $V\text{?}$

$V \approx$

$k = \min(2;\ 5)$ $= 2;$ $V = \sqrt{\tfrac{2{,}7}{120 \cdot 1}}$ $= 0{,}15$ $\Rightarrow$ schwacher Zusammenhang
Aufgabe 4
Kontingenztafel mit 2 Zeilen und 3 Spalten: $\chi^2 = 20{,}48,$ $N = 200$. Cramérs $V\text{?}$

$V \approx$

$k = \min(2;\ 3)$ $= 2;$ $V = \sqrt{\tfrac{20{,}48}{200 \cdot 1}}$ $= 0{,}32$ $\Rightarrow$ mittlerer Zusammenhang
Aufgabe 5
Kontingenztafel mit 4 Zeilen und 3 Spalten: $\chi^2 = 81{,}92,$ $N = 400$. Cramérs $V\text{?}$

$V \approx$

$k = \min(4;\ 3)$ $= 3;$ $V = \sqrt{\tfrac{81{,}92}{400 \cdot 2}}$ $= 0{,}32$ $\Rightarrow$ mittlerer Zusammenhang
Aufgabe 6
Kontingenztafel mit 3 Zeilen und 5 Spalten: $\chi^2 = 110{,}59,$ $N = 240$. Cramérs $V\text{?}$

$V \approx$

$k = \min(3;\ 5)$ $= 3;$ $V = \sqrt{\tfrac{110{,}59}{240 \cdot 2}}$ $\approx 0{,}48$ $\Rightarrow$ mittlerer Zusammenhang

Arbeitsblatt: Stärke des Zusammenhangs: Cramérs V und Kontingenzkoeffizient