DGL-Rechner
Gib eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. oder 2. Ordnung für $y(x)$ ein und – wenn Du willst – Anfangswerte. Der Rechner erkennt den Typ, zeigt den passenden Lösungsweg, bestimmt die Konstanten und macht die Probe.
Ergebnis
Lösung der Differentialgleichung $y' = x\,y^{2}$ mit $y(0) = 1$ (Trennung der Variablen):
Probe: Einsetzen der allgemeinen Lösung in die Differentialgleichung ergibt eine wahre Aussage.
Die Lösung der Anfangswertaufgabe erfüllt die Differentialgleichung (Probe durch Einsetzen).
Rechenweg
Nach y' auflösen
Bringe die Gleichung in die Form y' = F(x, y):
\[y' = x\,y^{2}\]Variablen trennen
Die rechte Seite ist ein Produkt aus einem Teil nur mit x und einem Teil nur mit y: F(x, y) = g(x) · h(y). Schreibe y' als dy/dx und bringe alles mit y auf die eine, alles mit x auf die andere Seite (für h(y) ≠ 0):
\[\frac{dy}{dx} = x \cdot y^{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{y^{2}}\,dy = x\,dx\]Beide Seiten integrieren
Integriere links nach y und rechts nach x. Die beiden Integrationskonstanten fasst Du zu einer Konstanten C zusammen:
\[\int \frac{1}{y^{2}}\,dy = \int x\,dx \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + C\]Nach y auflösen
Löse nach y auf (Konstanten wie e^C fasst Du wieder zu einem neuen C zusammen):
\[y = -\frac{2}{x^{2} + 2\,C}\]Anfangswerte einsetzen
Setze den Anfangswert in die allgemeine Lösung ein und bestimme C:
\[y(0) = 1\quad\Rightarrow\quad y = -\frac{2}{x^{2} - 2}\]
Graph der Lösung
Die Lösungskurve geht durch den vorgegebenen Punkt.
Welche Gleichungen löst der Rechner?
| Typ | Form | Lösungsweg |
|---|---|---|
| separierbar | $y' = g(x) \cdot h(y)$ | Trennung der Variablen: $\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$ |
| linear, 1. Ordnung | $y' + a(x)\,y = r(x)$ | homogene Lösung $C\,e^{-A(x)}$, dann Variation der Konstanten |
| linear, 2. Ordnung, konstante Koeffizienten | $y'' + a\,y' + b\,y = r(x)$ | charakteristische Gleichung $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$, drei Fälle, partikuläre Lösung |
| weitere | Bernoulli, exakte DGL u. a. | Ergebnis mit Methode, Rechenweg nur verkürzt |
Die Lösung mit allen Konstanten heißt allgemeine Lösung; mit Anfangswerten wird daraus genau eine Funktion. Erklärungen und Übungen findest Du unter Differentialgleichungen. Wachstumsmodelle wie $y' = k\,y$ und $y' = k\,(S - y)$ werden auch unter Wachstum und Zerfall erklärt; Integrale berechnet der Integralrechner. Den Verlauf der Lösungen einer Gleichung $y' = f(x, y)$ zeigt das interaktive Richtungsfeld – Startpunkt anklicken, Näherungslösung sehen.
Weiterlesen: Lineare gewöhnliche Differentialgleichung bei Wikipedia