DGL-Rechner
Gib eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. oder 2. Ordnung für $y(x)$ ein und – wenn Du willst – Anfangswerte. Der Rechner erkennt den Typ, zeigt den passenden Lösungsweg, bestimmt die Konstanten und macht die Probe.
Ergebnis
Lösung der Differentialgleichung $y'' + 4\,y' + 3\,y = 3\,x$ (lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (inhomogen)):
Probe: Einsetzen der allgemeinen Lösung in die Differentialgleichung ergibt eine wahre Aussage.
Rechenweg
Charakteristische Gleichung
Für y'' + a·y' + b·y = r(x) mit konstanten a und b setzt man für die homogene Gleichung y = e^{λx} an. Einsetzen und durch e^{λx} teilen ergibt die charakteristische Gleichung:
\[\lambda^2 + a\,\lambda + b = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda^{2} + 4\,\lambda + 3 = 0\]Fall 1: zwei verschiedene reelle Lösungen (Diskriminante > 0)
λ₁ = -3 und λ₂ = -1. Die homogene Lösung ist eine Linearkombination der beiden Exponentialfunktionen:
\[y_h = C_1\,e^{-3\,x} + C_2\,e^{-x}\]Partikuläre Lösung
Für den Störterm r(x) = 3·x sucht man eine spezielle Lösung y_p (Ansatz vom Typ der rechten Seite oder Variation der Konstanten). Sie lautet:
\[y_p = \frac{3\,x - 4}{3}\]Allgemeine Lösung
Allgemeine Lösung = homogene Lösung + partikuläre Lösung:
\[y = C_1\,e^{-3\,x} + C_2\,e^{-x} + \left(\frac{3\,x - 4}{3}\right)\]
Welche Gleichungen löst der Rechner?
| Typ | Form | Lösungsweg |
|---|---|---|
| separierbar | $y' = g(x) \cdot h(y)$ | Trennung der Variablen: $\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$ |
| linear, 1. Ordnung | $y' + a(x)\,y = r(x)$ | homogene Lösung $C\,e^{-A(x)}$, dann Variation der Konstanten |
| linear, 2. Ordnung, konstante Koeffizienten | $y'' + a\,y' + b\,y = r(x)$ | charakteristische Gleichung $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$, drei Fälle, partikuläre Lösung |
| weitere | Bernoulli, exakte DGL u. a. | Ergebnis mit Methode, Rechenweg nur verkürzt |
Die Lösung mit allen Konstanten heißt allgemeine Lösung; mit Anfangswerten wird daraus genau eine Funktion. Erklärungen und Übungen findest Du unter Differentialgleichungen. Wachstumsmodelle wie $y' = k\,y$ und $y' = k\,(S - y)$ werden auch unter Wachstum und Zerfall erklärt; Integrale berechnet der Integralrechner. Den Verlauf der Lösungen einer Gleichung $y' = f(x, y)$ zeigt das interaktive Richtungsfeld – Startpunkt anklicken, Näherungslösung sehen.
Weiterlesen: Lineare gewöhnliche Differentialgleichung bei Wikipedia