Differentialgleichungen
Eine Differentialgleichung (kurz DGL) ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion $y(x)$ zusammen mit ihren Ableitungen vorkommt. Gesucht ist keine Zahl, sondern eine ganze Funktion. Wachstum, Abkühlung, radioaktiver Zerfall, Schwingungen und Stromkreise werden so beschrieben.
Grundbegriffe
Die Gleichung $y' = 0{,}3\,y$ sagt: Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand. Jede Funktion $y = C \cdot e^{0{,}3x}$ erfüllt sie – das prüfst Du durch Einsetzen: $y' = 0{,}3\,C\,e^{0{,}3x} = 0{,}3\,y$ ✓.
- Die Ordnung ist die höchste vorkommende Ableitung: $y' = 0{,}3y$ hat Ordnung 1, $y'' + 4y = 0$ hat Ordnung 2.
- Die allgemeine Lösung enthält so viele freie Konstanten ($C$, $C_1$, $C_2$, …) wie die Ordnung angibt.
- Ein Anfangswertproblem (AWP) legt die Konstanten fest, z. B. $y(0) = 5$. Bei Ordnung 2 braucht man zwei Bedingungen, meist $y(0)$ und $y'(0)$.
- Linear heißt eine DGL, wenn $y, y', y''$ nur in der ersten Potenz und nicht miteinander multipliziert vorkommen.
Tipp: Immer die Probe machen
Ob eine Funktion eine DGL löst, kannst Du immer prüfen: ableiten, einsetzen, vergleichen. Das ist oft viel leichter als das Lösen selbst.
Trennung der Variablen
Lässt sich die DGL als $y' = g(x) \cdot h(y)$ schreiben, bringst Du alles mit $y$ auf die eine und alles mit $x$ auf die andere Seite und integrierst beide Seiten:
Beispiel: y′ = x · y mit y(0) = 2
Trennen und integrieren (für $y \ne 0$):
Anfangswert: $y(0) = C \cdot e^0 = C = 2$. Lösung: $y = 2\,e^{\frac{x^2}{2}}$.
Probe: $y' = 2\,e^{\frac{x^2}{2}} \cdot x = x \cdot y$ ✓
Ein wichtiger Spezialfall ist das beschränkte Wachstum $y' = k\,(S - y)$, z. B. beim Abkühlen. Die Lösung ist $y = S + (y_0 - S)\,e^{-kx}$ – mehr dazu unter Wachstum und Zerfall.
Abkühlen bzw. Erwärmen auf Zimmertemperatur: Lösungen von $T' = -0{,}1\,(T - 20)$ für die Startwerte 90 °C, 50 °C und 5 °C. Alle Lösungen nähern sich der Schranke 20 °C.
Lineare DGL 1. Ordnung
Die Form ist $y' + a(x)\,y = r(x)$. Die rechte Seite $r(x)$ heißt Störfunktion; ist sie $0$, heißt die DGL homogen.
Lösung = homogene Lösung + eine partikuläre Lösung
- Homogene Gleichung $y' + a(x)\,y = 0$ durch Trennung der Variablen lösen: $y_h = C\,e^{-A(x)}$ mit einer Stammfunktion $A$ von $a$.
- Partikuläre Lösung $y_p$ finden – mit einem Ansatz wie die rechte Seite (Konstante, Polynom, $e^{mx}$) oder mit der Variation der Konstanten: $C$ durch eine Funktion $C(x)$ ersetzen.
- $y = y_h + y_p$, dann die Konstante mit dem Anfangswert bestimmen.
Beispiel: y′ + 2y = 6 mit y(0) = 1
Homogen: $y_h = C\,e^{-2x}$. Weil rechts eine Konstante steht, probierst Du $y_p = k$: $0 + 2k = 6$, also $y_p = 3$.
Allgemeine Lösung $y = 3 + C\,e^{-2x}$; aus $y(0) = 3 + C = 1$ folgt $C = -2$:
Probe: $y' = 4\,e^{-2x}$, also $y' + 2y = 4\,e^{-2x} + 6 - 4\,e^{-2x} = 6$ ✓
Beispiel: Variation der Konstanten bei y′ + y/x = x² (x > 0)
Homogen: $y' = -\frac{y}{x}$ ergibt $y_h = \frac{C}{x}$. Ansatz $y = \frac{C(x)}{x}$, also $y' = \frac{C'(x)}{x} - \frac{C(x)}{x^2}$. Einsetzen – die Terme mit $C(x)$ heben sich auf:
Lösung: $y = \frac{x^3}{4} + \frac{K}{x}$.
Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Für $y'' + a\,y' + b\,y = 0$ mit Zahlen $a, b$ führt der Ansatz $y = e^{\lambda x}$ auf die charakteristische Gleichung
Sie ist eine quadratische Gleichung (siehe pq-Formel). Je nach Diskriminante gibt es drei Fälle:
Fall 1: zwei reelle Lösungen λ₁ ≠ λ₂
$y = C_1\,e^{\lambda_1 x} + C_2\,e^{\lambda_2 x}$
Fall 2: doppelte Lösung λ
$y = (C_1 + C_2\,x)\,e^{\lambda x}$
Fall 3: komplexe Lösungen α ± βi
$y = e^{\alpha x}\left(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)\right)$
Beispiel: y″ − 3y′ + 2y = 0 mit y(0) = 1, y′(0) = 0
$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$, also $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$ (Fall 1): $y = C_1\,e^{x} + C_2\,e^{2x}$.
Anfangswerte: $y(0) = C_1 + C_2 = 1$ und $y'(0) = C_1 + 2C_2 = 0$. Subtrahieren ergibt $C_2 = -1$, damit $C_1 = 2$:
Beispiel: Schwingungen
$y'' + 4y = 0$: $\lambda^2 + 4 = 0$ hat die komplexen Lösungen $\pm 2i$ (Fall 3 mit $\alpha = 0$, $\beta = 2$). Die Lösung $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$ ist eine ungedämpfte Schwingung.
$y'' + 2y' + 5y = 0$: $\lambda = -1 \pm 2i$, also $y = e^{-x}\left(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\right)$ – eine gedämpfte Schwingung, deren Ausschlag mit $e^{-x}$ abklingt.
Steht rechts eine Störfunktion $r(x)$, gilt wieder $y = y_h + y_p$. Für $y_p$ machst Du einen Ansatz „wie die rechte Seite“: Konstante → Konstante, Polynom → Polynom gleichen Grades, $e^{mx}$ → $A\,e^{mx}$. Beispiel: Für $y'' - 3y' + 2y = 4$ ist $y_p = 2$.
Typische Fehler
- Die Integrationskonstante vergessen – dann fehlt die ganze Lösungsschar.
- Den Anfangswert einsetzen, bevor die allgemeine Lösung fertig ist (z. B. vor dem Addieren von $y_p$).
- Beim Trennen durch $y$ teilen und die Lösung $y = 0$ übersehen.
- In der charakteristischen Gleichung Vorzeichen verdrehen: Zu $y'' - 3y' + 2y = 0$ gehört $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$.
- Bei einer doppelten Lösung $C_1 e^{\lambda x} + C_2 e^{\lambda x}$ schreiben – das ist nur eine Funktion. Richtig ist $(C_1 + C_2 x)\,e^{\lambda x}$.
Online üben
Stufe 1: y' = ky und Trennung der Variablen
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Aufgabe 1
\(y' = 6xy,\ y(0) = 4\)\(y =\)\(y = 4\,e^{3x^{2}}\)
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Aufgabe 2
\(y' = 3y,\ y(0) = -5\)\(y =\)\(y = -5\,e^{3x}\)
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Aufgabe 3
\(y' = 4xy,\ y(0) = 3\)\(y =\)\(y = 3\,e^{2x^{2}}\)
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Aufgabe 4
\(y' = -y,\ y(0) = 5\)\(y =\)\(y = 5\,e^{-x}\)
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Aufgabe 5
\(y' = -2x^{2},\ y(2) = -1\)\(y =\)\(y = -\frac{2}{3}x^{3} + \frac{13}{3}\)
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Aufgabe 6
\(y' = 6xy,\ y(0) = 5\)\(y =\)\(y = 5\,e^{3x^{2}}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Differentialgleichungen – Anfangswertaufgaben
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Eigene Gleichungen lösen? Der DGL-Rechner erkennt den Typ, zeigt die Schritte und macht die Probe. Für die Integrale brauchst Du die Integralrechnung und die Integrationsmethoden. Wie die Lösungen von $y' = f(x, y)$ verlaufen, siehst Du auch ohne Rechnung im Richtungsfeld zum Anklicken – mit Euler- und Runge-Kutta-Verfahren.
Hängen zwei Größen voneinander ab, entsteht ein System wie $\dot x = a x + b y$, $\dot y = c x + d y$. Wie man es mit Eigenwerten löst und was Knoten, Sattel und Strudel im Phasenporträt bedeuten, erklärt die Seite Lineare DGL-Systeme; rechnen lässt sich das im Rechner für DGL-Systeme.
Einen zweiten Lösungsweg für lineare Gleichungen mit Anfangswerten – ohne allgemeine Lösung und ohne Konstanten anpassen – bietet die Laplace-Transformation; der Laplace-Rechner zeigt jeden Schritt.
Weiterlesen: Gewöhnliche Differentialgleichung, Trennung der Veränderlichen bei Wikipedia