Doppelintegrale
Ein gewöhnliches Integral misst die Fläche unter einem Graphen. Ein Doppelintegral misst das Volumen unter einer Fläche $z = f(x, y)$ über einem Bereich $B$ der $xy$-Ebene. Gerechnet wird es fast immer als zwei einfache Integrale nacheinander – das innere und das äußere.
Die Idee: viele kleine Säulen
Zerlege den Bereich $B$ in viele kleine Rechtecke mit den Seiten $\Delta x$ und $\Delta y$. Über jedem Rechteck steht eine schmale Säule der Höhe $f(x_i, y_j)$ mit dem Volumen $f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$. Addiert man alle Säulen und macht die Rechtecke immer kleiner, entsteht das Doppelintegral:
$$\iint_B f(x, y)\,\mathrm{d}A = \lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_{i, j} f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y.$$
Das ist dieselbe Idee wie bei den Ober- und Untersummen in der Schule – nur eine Dimension höher. $\mathrm{d}A$ steht für ein kleines Flächenstück, im kartesischen Koordinatensystem ist $\mathrm{d}A = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$.
Doppelintegral über einem Rechteck
Satz von Fubini
Ist $f$ stetig auf dem Rechteck $B = [a; b] \times [c; d]$, dann gilt
$$\iint_B f\,\mathrm{d}A = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y)\,\mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y)\,\mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y.$$
Beim inneren Integral ist die andere Variable eine Konstante – genau wie beim partiellen Ableiten. Die Reihenfolge darf man über einem Rechteck frei wählen.
Beispiel 1: f(x, y) = x·y² über [0; 2] × [0; 1]
Inneres Integral nach $y$, $x$ bleibt fest: $\int_0^1 x y^2\,\mathrm{d}y = x \cdot \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \frac{x}{3}$.
Äußeres Integral nach $x$: $\int_0^2 \frac{x}{3}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{6}\right]_0^2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Andersherum geht es genauso: $\int_0^2 x y^2\,\mathrm{d}x = 2y^2$ und $\int_0^1 2y^2\,\mathrm{d}y = \frac{2}{3}$.
Abkürzung bei Produkten
Zerfällt der Integrand in $g(x) \cdot h(y)$ und ist der Bereich ein Rechteck, dann ist das Doppelintegral einfach das Produkt zweier einfacher Integrale: $\iint_B g(x)\,h(y)\,\mathrm{d}A = \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x \cdot \int_c^d h(y)\,\mathrm{d}y$. Im Beispiel: $\int_0^2 x\,\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 y^2\,\mathrm{d}y = 2 \cdot \frac13$.
Normalbereiche: Grenzen, die von x abhängen
Meist ist $B$ kein Rechteck, sondern liegt zwischen zwei Kurven. Liegt $B$ über dem Intervall $[a; b]$ zwischen einer unteren Kurve $y = g_1(x)$ und einer oberen Kurve $y = g_2(x)$, dann hängen die Grenzen des inneren Integrals von $x$ ab:
Normalbereich bezüglich x
$$B = \{(x, y) \mid a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)\}:\qquad \iint_B f\,\mathrm{d}A = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.$$
Ebenso bezüglich $y$: Liegt $B$ zwischen $x = h_1(y)$ (links) und $x = h_2(y)$ (rechts) für $c \le y \le d$, wird innen nach $x$ integriert. Die äußeren Grenzen sind immer Zahlen, nur die inneren dürfen von der äußeren Variablen abhängen.
Beispiel 2: Fläche zwischen y = x² und y = √x
Mit dem Integranden $f = 1$ liefert das Doppelintegral den Flächeninhalt:
$$A = \int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} 1\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \left(\sqrt{x} - x^2\right)\mathrm{d}x = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.$$
Das ist genau die bekannte Formel „obere minus untere Funktion“ aus der Integralrechnung – das Doppelintegral mit $f = 1$ steckt dahinter.
Beispiel 3: Integrationsreihenfolge vertauschen
Das Integral $\int_0^1 \int_x^1 e^{y^2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ lässt sich so nicht ausrechnen: Zu $e^{y^2}$ gibt es keine elementare Stammfunktion. Der Bereich ist das Dreieck $0 \le x \le y \le 1$. Beschreibt man es andersherum – $0 \le y \le 1$ außen, $0 \le x \le y$ innen –, wird es leicht:
$$\int_0^1 \int_0^y e^{y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^1 y\,e^{y^2}\,\mathrm{d}y = \left[\tfrac12 e^{y^2}\right]_0^1 = \frac{e - 1}{2}.$$
Vorgehen beim Vertauschen: Bereich skizzieren, dann die Grenzen neu ablesen – erst die äußeren Zahlen, dann die inneren Kurven.
Polarkoordinaten und die Jacobi-Determinante
Kreise, Kreisringe und Kreissektoren beschreibt man am einfachsten mit Polarkoordinaten $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$. Dabei ändert sich das Flächenelement: Ein kleines „Polar-Rechteck“ mit den Seiten $\Delta r$ und $\Delta \varphi$ ist nicht $\Delta r\,\Delta\varphi$ groß, sondern ungefähr $r\,\Delta r\,\Delta\varphi$ – weiter außen sind die Stücke breiter.
Doppelintegral in Polarkoordinaten
$$\iint_B f(x, y)\,\mathrm{d}A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \int_{r_1}^{r_2} f(r\cos\varphi,\, r\sin\varphi)\; r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.$$
Der Faktor $r$ ist die Jacobi-Determinante der Umrechnung: $\det \begin{pmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{pmatrix} = r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r$. Allgemein gilt bei einer Substitution $(x, y) = T(u, v)$: $\mathrm{d}A = |\det J_T|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$ – mehr dazu auf der Seite Jacobi-Matrix, Kettenregel und Taylor.
Beispiel 4: f(x, y) = x² + y² über dem Viertelring 1 ≤ r ≤ 2
Mit $x^2 + y^2 = r^2$ wird der Integrand zu $r^2 \cdot r = r^3$:
$$\int_0^{\pi/2} \int_1^2 r^3\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi = \frac{\pi}{2} \cdot \left[\frac{r^4}{4}\right]_1^2 = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15\pi}{8} \approx 5{,}89.$$
Beispiel 5: das Gauß-Integral
Über die ganze Ebene ist $\iint e^{-(x^2 + y^2)}\,\mathrm{d}A = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-r^2}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \cdot \frac12 = \pi$. Weil der Integrand das Produkt $e^{-x^2} \cdot e^{-y^2}$ ist, ist dasselbe Integral auch $\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\right)^2$. Daraus folgt $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}$ – die Grundlage der Normalverteilung. Für eine Funktion einer Variablen gibt es dafür keine elementare Stammfunktion; der Umweg über zwei Dimensionen löst das Problem.
Wofür braucht man Doppelintegrale?
| Größe | Formel |
|---|---|
| Flächeninhalt von B | $A = \iint_B 1\,\mathrm{d}A$ |
| Volumen unter $z = f(x, y) \ge 0$ | $V = \iint_B f\,\mathrm{d}A$ |
| Mittelwert von f über B | $\bar f = \frac{1}{A} \iint_B f\,\mathrm{d}A$ |
| Masse bei Flächendichte $\rho(x, y)$ | $m = \iint_B \rho\,\mathrm{d}A$ |
| Schwerpunkt | $x_S = \frac{1}{A} \iint_B x\,\mathrm{d}A,\quad y_S = \frac{1}{A} \iint_B y\,\mathrm{d}A$ |
| Wahrscheinlichkeit bei gemeinsamer Dichte $f(x, y)$ | $P((X, Y) \in B) = \iint_B f\,\mathrm{d}A$ |
Dreifachintegrale $\iiint_K f\,\mathrm{d}V$ funktionieren genauso – mit drei ineinander geschachtelten Integralen; statt Polarkoordinaten nimmt man dann Zylinder- oder Kugelkoordinaten (Jacobi-Determinante $r$ bzw. $r^2\sin\vartheta$). Mehr dazu mit Beispielen und Rechner unter Dreifachintegrale.
Typische Fehler
- Äußere Grenzen mit Variablen: Das Ergebnis muss eine Zahl sein. Steht in den äußeren Grenzen noch $x$ oder $y$, ist die Reihenfolge falsch.
- Faktor r vergessen: In Polarkoordinaten ist $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi$, nicht $\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi$.
- Grenzen beim Vertauschen einfach tauschen: $\int_0^1 \int_x^1 \ldots\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ ist nicht $\int_x^1 \int_0^1 \ldots\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$. Immer den Bereich skizzieren und neu beschreiben.
- Untere und obere Kurve verwechselt: Dann ändert sich das Vorzeichen. Mit einer Probe-Stelle (z. B. $x = \frac12$) prüfst Du schnell, welche Kurve oben liegt.
Online üben: Doppelintegrale
Stufe 2: Normalbereich
-
Aufgabe 1
\(\int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x^{2}} 2y\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(\text{innen: } x^{4} - x^{6},\) \(\int_{0}^{1} \left(x^{4} - x^{6}\right)\mathrm{d}x\) \(= \frac{2}{35}\)
-
Aufgabe 2
\(\int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x} 3x^{2}y\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(\text{innen: } \frac{3}{2}\,x^{4} - \frac{3}{2}\,x^{8},\) \(\int_{0}^{1} \left(\frac{3}{2}\,x^{4} - \frac{3}{2}\,x^{8}\right)\mathrm{d}x\) \(= \frac{2}{15}\)
-
Aufgabe 3
\(\int_{0}^{1} \int_{0}^{2x^{2}} 2\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(\text{innen: } 4x^{2},\) \(\int_{0}^{1} \left(4x^{2}\right)\mathrm{d}x = \frac{4}{3}\)
-
Aufgabe 4
\(\int_{0}^{2} \int_{0}^{x^{2}} 3xy\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(\text{innen: } \frac{3}{2}\,x^{5},\) \(\int_{0}^{2} \left(\frac{3}{2}\,x^{5}\right)\mathrm{d}x\) \(= 16\)
-
Aufgabe 5
\(\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} 4y\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(\text{innen: } 2x^{4},\) \(\int_{0}^{1} \left(2x^{4}\right)\mathrm{d}x = \frac{2}{5}\)
-
Aufgabe 6
Flächeninhalt: \(\int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x^{2}} 1\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)\(I =\)\(\text{innen: } x^{2} - x^{3},\) \(\int_{0}^{1} \left(x^{2} - x^{3}\right)\mathrm{d}x\) \(= \frac{1}{12}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Doppelintegrale
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Eigene Aufgaben nachrechnen? Der Doppelintegral-Rechner zeigt inneres und äußeres Integral, prüft das Ergebnis numerisch und skizziert den Bereich. Grundlagen zum Integrieren findest Du unter Integralrechnung und im Integralrechner; die Jacobi-Determinante wird auf der Seite Jacobi-Matrix, Kettenregel und Taylor ausführlich erklärt.
Weiterlesen: Satz von Fubini, Transformationssatz bei Wikipedia