Kl. 13

Extremwerte bei mehreren Variablen

Bei Funktionen einer Variablen suchst Du Extrempunkte mit $f'(x) = 0$ und entscheidest mit $f''(x)$. Bei $f(x, y)$ funktioniert das genauso – nur dass die erste Ableitung der Gradient ist und die zweite Ableitung die Hesse-Matrix. Und es gibt eine neue Sorte Punkt: den Sattelpunkt.

Schritt 1: Kritische Punkte

In einem Hoch- oder Tiefpunkt ist die Landschaft „waagerecht“ – in jede Richtung ist die Steigung 0. Deshalb müssen alle partiellen Ableitungen gleichzeitig verschwinden:

Notwendige Bedingung

\[\operatorname{grad} f(x, y) = \vec{0} \quad \Longleftrightarrow \quad f_x(x, y) = 0 \ \text{ und } \ f_y(x, y) = 0\]

Die Lösungen dieses Gleichungssystems heißen kritische oder stationäre Punkte. Nicht jeder davon ist ein Extremum.

Schritt 2: Entscheiden mit der Hesse-Matrix

Setze den kritischen Punkt in die Hesse-Matrix ein und berechne ihre Determinante:

\[H_f = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}, \qquad D = \det H_f = f_{xx} \cdot f_{yy} - f_{xy}^2\]

Im kritischen Punkt	Hesse-Matrix ist …	Ergebnis
$D > 0$ und $f_{xx} > 0$	positiv definit	lokales Minimum (Tiefpunkt)
$D > 0$ und $f_{xx} < 0$	negativ definit	lokales Maximum (Hochpunkt)
$D < 0$	indefinit	Sattelpunkt – kein Extremum
$D = 0$	semidefinit	keine Entscheidung, genauer hinsehen

Merkhilfe: Ist $D > 0$, haben $f_{xx}$ und $f_{yy}$ automatisch dasselbe Vorzeichen – die Fläche ist in $x$- und in $y$-Richtung gleich gekrümmt. Bei $D < 0$ geht es in einer Richtung bergauf und in einer anderen bergab, wie auf einem Pferdesattel oder einem Gebirgspass.

Beispiel 1: f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y

Kritische Punkte: $f_x = 3x^2 - 3 = 0$ liefert $x = 1$ oder $x = -1$, und $f_y = 2y - 2 = 0$ liefert $y = 1$. Es gibt also zwei Kandidaten: $(1 \mid 1)$ und $(-1 \mid 1)$.

Hesse-Matrix: $f_{xx} = 6x$, $f_{yy} = 2$, $f_{xy} = 0$, also $D = 6x \cdot 2 - 0^2 = 12x$.

$(1 \mid 1)$: $D = 12 > 0$ und $f_{xx} = 6 > 0$ → Tiefpunkt $T(1 \mid 1 \mid -3)$
$(-1 \mid 1)$: $D = -12 < 0$ → Sattelpunkt $S(-1 \mid 1 \mid 1)$

Beispiel 2: f(x, y) = x³ + y³ − 3xy

$f_x = 3x^2 - 3y = 0$ ergibt $y = x^2$. Eingesetzt in $f_y = 3y^2 - 3x = 0$: $x^4 = x$, also $x = 0$ oder $x = 1$. Kritische Punkte: $(0 \mid 0)$ und $(1 \mid 1)$.

Mit $f_{xx} = 6x$, $f_{yy} = 6y$, $f_{xy} = -3$ ist $D = 36xy - 9$:

$(0 \mid 0)$: $D = -9 < 0$ → Sattelpunkt $S(0 \mid 0 \mid 0)$
$(1 \mid 1)$: $D = 27 > 0$, $f_{xx} = 6 > 0$ → Tiefpunkt $T(1 \mid 1 \mid -1)$

Höhenlinien von $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$: Um den Tiefpunkt $T$ liegen geschlossene Ringe. Im Sattelpunkt $S$ kreuzt sich die Höhenlinie $f = 0$ – dort geht es in zwei Richtungen bergauf und in zwei Richtungen bergab.

Der Fall D = 0

Ist $D = 0$, sagt die Hesse-Matrix nichts aus. Dann hilft nur ein genauerer Blick auf die Funktionswerte in der Nähe des Punktes. Zwei Beispiele, beide mit kritischem Punkt $(0 \mid 0)$ und $D = 0$:

$f(x, y) = x^4 + y^4$: Alle zweiten Ableitungen sind im Ursprung 0. Weil aber $f(x, y) > 0 = f(0, 0)$ für alle anderen Punkte gilt, liegt ein Minimum vor.
$f(x, y) = x^3 + y^2$: Hier ist $H_f(0, 0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, also $D = 0$. Auf der $x$-Achse ist $f(x, 0) = x^3$ – links negativ, rechts positiv. Damit ist $(0 \mid 0)$ kein Extremum.

Drei Variablen: Definitheit über Hauptminoren

Bei $f(x, y, z)$ ist die Hesse-Matrix eine 3×3-Matrix. Statt der einen Determinante $D$ berechnest Du die drei Hauptminoren – die Determinanten der Teilmatrizen links oben:

\[H_1 = f_{xx}, \qquad H_2 = \det \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}, \qquad H_3 = \det H_f\]

$H_1 > 0$, $H_2 > 0$, $H_3 > 0$: positiv definit → Minimum
$H_1 < 0$, $H_2 > 0$, $H_3 < 0$ (Vorzeichen wechseln, beginnend mit −): negativ definit → Maximum
$H_3 \neq 0$, aber keines der beiden Muster: indefinit → Sattelpunkt
$H_3 = 0$: keine Entscheidung

Gleichwertig kannst Du die Eigenwerte der Hesse-Matrix betrachten: alle positiv → Minimum, alle negativ → Maximum, beide Vorzeichen → Sattelpunkt. Wie man Determinanten von 3×3-Matrizen mit der Regel von Sarrus berechnet, steht unter Matrizen. Alle Kriterien für positiv und negativ definite Matrizen – mit Bildern und Rechner – sammelt die Seite Definitheit von Matrizen.

Beispiel 3: f(x, y, z) = x² + y² + z² − xy + yz − 2x

Das System $f_x = 2x - y - 2 = 0$, $f_y = 2y - x + z = 0$, $f_z = 2z + y = 0$ hat genau eine Lösung: $\left(\frac{3}{2} \mid 1 \mid -\frac{1}{2}\right)$.

Die Hesse-Matrix ist konstant: $H_f = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ mit $H_1 = 2$, $H_2 = 4 - 1 = 3$, $H_3 = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2) + 0 = 4$.

Alle Hauptminoren sind positiv → Minimum mit dem Wert $f = -\frac{3}{2}$.

Extrema unter Nebenbedingung: Lagrange

Oft darfst Du nicht jeden Punkt nehmen: Ein Zaun hat eine feste Länge, ein Budget ist begrenzt, ein Punkt soll auf einem Kreis liegen. Gesucht ist dann das Extremum von $f(x, y)$ nur unter den Punkten, die eine Nebenbedingung $g(x, y) = 0$ erfüllen.

Die Idee von Lagrange: Im gesuchten Punkt berührt eine Höhenlinie von $f$ die Kurve $g = 0$. Dort sind die beiden Gradienten parallel – es gibt eine Zahl $\lambda$ (den Lagrange-Multiplikator) mit $\operatorname{grad} f = \lambda \operatorname{grad} g$.

Lagrange-Verfahren

Nebenbedingung in die Form $g(x, y) = 0$ bringen.
Lagrange-Funktion bilden: $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda \cdot g(x, y)$.
Alle partiellen Ableitungen null setzen: $L_x = 0$, $L_y = 0$, $L_\lambda = -g = 0$.
Das Gleichungssystem lösen und die Funktionswerte der Kandidaten vergleichen.

Beispiel 4: Rechteckiges Beet

Ein Beet soll an einer Mauer liegen. Für die anderen drei Seiten stehen 8 m Kantensteine bereit: zweimal die Breite $x$ und einmal die Länge $y$, also $2x + y = 8$. Wie groß wird die Fläche $f(x, y) = x \cdot y$ höchstens?

$g(x, y) = 2x + y - 8$ und $L = xy - \lambda\,(2x + y - 8)$:

\[L_x = y - 2\lambda = 0, \qquad L_y = x - \lambda = 0, \qquad 2x + y = 8\]

Aus den ersten beiden Gleichungen folgt $y = 2\lambda$ und $x = \lambda$. Eingesetzt: $2\lambda + 2\lambda = 8$, also $\lambda = 2$, $x = 2$ und $y = 4$. Die größte Fläche ist $f(2, 4) = 8\ \text{m}^2$.

Höhenlinien von $f(x, y) = xy$ (Hyperbeln) und die Nebenbedingung $2x + y = 8$ (grün). Im Punkt $P(2 \mid 4)$ berührt die Höhenlinie $f = 8$ die Gerade – eine höhere Höhenlinie erreicht die Gerade nicht mehr.

Maximum oder Minimum? Die geränderte Hesse-Matrix

Bei zwei Variablen und einer Nebenbedingung bildest Du aus den Ableitungen von $g$ und den zweiten Ableitungen von $L$ die geränderte Hesse-Matrix:

\[\bar H = \begin{pmatrix} 0 & g_x & g_y \\ g_x & L_{xx} & L_{xy} \\ g_y & L_{xy} & L_{yy} \end{pmatrix}, \qquad \det \bar H > 0 \Rightarrow \text{Maximum}, \quad \det \bar H < 0 \Rightarrow \text{Minimum}\]

Im Beet-Beispiel ist $g_x = 2$, $g_y = 1$, $L_{xx} = L_{yy} = 0$, $L_{xy} = 1$, also $\det \bar H = 0 \cdot (0 - 1) - 2 \cdot (0 - 1) + 1 \cdot (2 - 0) = 4 > 0$ → Maximum.

Ist die Nebenbedingung eine geschlossene Kurve wie ein Kreis, geht es oft schneller: Dann gibt es sicher ein größtes und ein kleinstes Ergebnis, und Du vergleichst einfach die Funktionswerte aller Kandidaten.

Beispiel 5: f(x, y) = x + 2y auf dem Kreis x² + y² = 5

$\operatorname{grad} f = \lambda \operatorname{grad} g$ heißt $1 = 2\lambda x$ und $2 = 2\lambda y$, also $x = \frac{1}{2\lambda}$ und $y = \frac{1}{\lambda}$. Eingesetzt in die Kreisgleichung: $\frac{1}{4\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} = 5$, also $\lambda = \pm\frac{1}{2}$.

Kandidaten: $(1 \mid 2)$ mit $f = 5$ (größter Wert) und $(-1 \mid -2)$ mit $f = -5$ (kleinster Wert).

Was bedeutet λ?

$\lambda$ gibt an, um wie viel sich der beste Wert ungefähr ändert, wenn die Konstante der Nebenbedingung um 1 steigt. Im Beet-Beispiel ist $\lambda = 2$: Mit 9 m statt 8 m Kantensteinen wird die größte Fläche $\frac{81}{8} = 10{,}125\ \text{m}^2$ – also etwa $2\ \text{m}^2$ mehr. In der Wirtschaft heißt $\lambda$ deshalb auch Schattenpreis.

Typische Fehler

Beim Lösen von $\operatorname{grad} f = \vec{0}$ Lösungen verlieren, weil durch $x$ oder $y$ geteilt wurde – Fall „$x = 0$“ immer extra betrachten.
Bei $D > 0$ das Vorzeichen von $f_{xx}$ vergessen: Es entscheidet zwischen Minimum und Maximum.
$D = 0$ als „Sattelpunkt“ deuten – richtig ist: keine Aussage.
Beim Lagrange-Verfahren die Nebenbedingung selbst nicht als dritte Gleichung verwenden.

Online üben: kritische Punkte und ihre Art

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: kritischer Punkt

Aufgabe 1
$f(x, y)$ $= -3x^{2} + 3xy - 3y^{2} - 3x + 6y:$ kritischer Punkt

$kritischer Punkt$

$(0 \mid 1)\quad (Maximum)$
Aufgabe 2
$f(x, y)$ $= -4x^{2} + xy - 4y^{2} - 14x - 14y:$ kritischer Punkt

$kritischer Punkt$

$(-2 \mid -2)\quad (Maximum)$
Aufgabe 3
$f(x, y)$ $= 4x^{2} - 3xy - 2y^{2} + 7x - 18y:$ kritischer Punkt

$kritischer Punkt$

$(-2 \mid -3)\quad (Sattelpunkt)$
Aufgabe 4
$f(x, y)$ $= -2x^{2} - 4xy + 3y^{2} + 8x - 2y:$ kritischer Punkt

$kritischer Punkt$

$(1 \mid 1)\quad (Sattelpunkt)$
Aufgabe 5
$f(x, y) = -3x^{2} - y^{2} - 12x - 4y:$ kritischer Punkt

$kritischer Punkt$

$(-2 \mid -2)\quad (Maximum)$
Aufgabe 6
$f(x, y) = 3x^{2} - 3y^{2} + 18x - 18y:$ kritischer Punkt

$kritischer Punkt$

$(-3 \mid -3)\quad (Sattelpunkt)$

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Extrema von Funktionen mit zwei Variablen

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.

Online üben: Lagrange

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: f = x·y auf einer Geraden

Aufgabe 1
$f(x, y)$ $= x\,y,$ $3x + 5y = 120:$ $\text{Maximum}$

$Maximum bei$

$(20 \mid 12),\ f = 240$
Aufgabe 2
$f(x, y) = x\,y,$ $x + y = 8:$ $\text{Maximum}$

$Maximum bei$

$(4 \mid 4),\ f = 16$
Aufgabe 3
$f(x, y)$ $= x\,y,$ $2x + 2y = 8:$ $\text{Maximum}$

$Maximum bei$

$(2 \mid 2),\ f = 4$
Aufgabe 4
$f(x, y)$ $= x\,y,$ $2x + 3y = 48:$ $\text{Maximum}$

$Maximum bei$

$(12 \mid 8),\ f = 96$
Aufgabe 5
$f(x, y) = x\,y,$ $x + y = 6:$ $\text{Maximum}$

$Maximum bei$

$(3 \mid 3),\ f = 9$
Aufgabe 6
$f(x, y) = x\,y,$ $x + y = 2:$ $\text{Maximum}$

$Maximum bei$

$(1 \mid 1),\ f = 1$

Arbeitsblatt: Extrema unter Nebenbedingungen (Lagrange)