Kl. 13

F-Test und Varianzanalyse

Füllt eine neue Maschine gleichmäßiger ab als die alte? Wachsen Pflanzen mit drei verschiedenen Düngern im Mittel gleich hoch? Beide Fragen beantwortet man mit einem Quotienten zweier Varianzen. Unter der Nullhypothese folgt dieser Quotient der F-Verteilung – daher der Name F-Test.

Die F-Verteilung

Teilt man die Varianzen zweier unabhängiger Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit gleicher Varianz durcheinander, schwankt der Quotient um 1. Wie stark, hängt von den beiden Stichprobengrößen ab. Die F-Verteilung hat deshalb zwei Freiheitsgrade: $d_1$ für den Zähler und $d_2$ für den Nenner.

F(3; 12) F(5; 20) F(15; 40)

Je größer beide Freiheitsgrade sind, desto enger liegt die Verteilung um 1. Der Wert, ab dem man die Nullhypothese ablehnt, liegt bei kleinen Stichproben deshalb deutlich über 1. Mehr zu den Freiheitsgraden steht auf der Seite Freiheitsgrade.

F-Test: Streuen zwei Gruppen gleich stark?

Merke: F-Test für zwei Varianzen

\[F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \qquad df = (n_1 - 1;\ n_2 - 1)\]

$H_0\!: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$. Liegt $F$ weit über 1 oder weit unter 1, spricht das gegen $H_0$.
Bequem: Die größere Varianz kommt in den Zähler. Dann ist $F \geq 1$, und beim zweiseitigen Test genügt der Vergleich mit dem oberen kritischen Wert zu $\frac{\alpha}{2}$.
Voraussetzung: Beide Gruppen sind unabhängig und (ungefähr) normalverteilt. Gegen Abweichungen von der Normalverteilung ist der F-Test empfindlich.

Füllt Maschine A gleichmäßiger ab?

Gemessen wurde die Abweichung vom Sollgewicht in Gramm. Maschine A: 12,1; 13,4; 11,8; 12,9; 13,1; 12,4. Maschine B: 10,2; 14,8; 9,1; 15,3; 11,7; 8,9; 13,6.

Die Stichproben-Varianzen sind $s_A^2 \approx 0{,}382$ ($n_A = 6$) und $s_B^2 \approx 7{,}103$ ($n_B = 7$). Die größere Varianz kommt nach oben:

\[F = \frac{s_B^2}{s_A^2} \approx \frac{7{,}103}{0{,}382} \approx 18{,}61 \qquad df = (6;\ 5)\]

Zweiseitig mit $\alpha = 5\,\%$ ist der kritische Wert das Quantil zu $97{,}5\,\%$: $F_{6;\,5;\,0{,}975} \approx 6{,}98$. Weil 18,61 darüber liegt, wird $H_0$ abgelehnt: Die Maschinen streuen verschieden stark, Maschine A arbeitet gleichmäßiger (p-Wert $\approx 0{,}0056$).

Das hat Folgen für den nächsten Schritt: Sollen die Mittelwerte der beiden Maschinen verglichen werden, ist hier der Welch-Test angebracht und nicht der gepoolte t-Test.

Einfaktorielle Varianzanalyse

Mit dem t-Test lassen sich zwei Mittelwerte vergleichen. Bei drei oder mehr Gruppen alle Paare einzeln zu testen, ist keine gute Idee: Bei drei Gruppen sind das schon drei Tests, und die Chance, irgendwo zufällig einen „signifikanten“ Unterschied zu finden, steigt deutlich über $\alpha$. Die Varianzanalyse (englisch ANOVA) prüft alle Gruppen in einem Test:

\[H_0\!: \mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_k \qquad H_1\!: \text{mindestens zwei Erwartungswerte sind verschieden}\]

Die Idee: Unterscheiden sich die Gruppenmittel nur zufällig, dann sind sie ungefähr so verstreut, wie man es aus der Streuung innerhalb der Gruppen erwarten würde. Liegen sie viel weiter auseinander, spricht das gegen $H_0$.

Punkte: Pflanzenhöhen in cm. Senkrechte Striche: Mittelwert jeder Sorte, gestrichelt: Gesamtmittelwert 24,67 cm.

Die Zerlegung der Quadratsummen

Merke: Varianzanalyse

\[\underbrace{\sum_{j}\sum_{i} (x_{ij} - \overline{x})^2}_{SQ_{\text{ges}}} = \underbrace{\sum_j n_j (\overline{x}_j - \overline{x})^2}_{SQ_{\text{zw}}} + \underbrace{\sum_j\sum_i (x_{ij} - \overline{x}_j)^2}_{SQ_{\text{in}}}\]

\[F = \frac{MQ_{\text{zw}}}{MQ_{\text{in}}} = \frac{SQ_{\text{zw}} : (k - 1)}{SQ_{\text{in}} : (N - k)} \qquad df = (k - 1;\ N - k)\]

$k$ ist die Zahl der Gruppen, $N$ die Zahl aller Messwerte. Abgelehnt wird nur bei großem $F$ – die Varianzanalyse ist immer rechtsseitig.

Drei Düngersorten

Je fünf Pflanzen wurden mit Sorte A, B und C gedüngt. Die Mittelwerte sind $\overline{x}_A = 23$, $\overline{x}_B = 28$ und $\overline{x}_C = 23$, der Gesamtmittelwert ist $\overline{x} \approx 24{,}67$.

Zwischen den Gruppen: $SQ_{\text{zw}} = 5 \cdot \left((23 - \overline{x})^2 + (28 - \overline{x})^2 + (23 - \overline{x})^2\right) \approx 83{,}33$
Innerhalb der Gruppen: Jede Sorte trägt die Summe ihrer quadrierten Abweichungen vom eigenen Mittel bei, zusammen $SQ_{\text{in}} = 30$.

Streuung	SQ	df	MQ	F
zwischen den Gruppen	83,33	2	41,67	16,67
innerhalb der Gruppen	30	12	2,5
gesamt	113,33	14

Der kritische Wert für $df = (2;\ 12)$ und $\alpha = 5\,\%$ ist $F_{2;\,12;\,0{,}95} \approx 3{,}89$. Mit $F \approx 16{,}67$ wird $H_0$ deutlich abgelehnt (p-Wert $\approx 0{,}0003$): Die Sorten wirken nicht alle gleich. Welche Sorte sich unterscheidet, sagt die Varianzanalyse allerdings nicht – im Diagramm sieht man, dass B heraussticht.

Effektstärke und Voraussetzungen

Wie viel der gesamten Streuung durch die Gruppen erklärt wird, misst $\eta^2 = \frac{SQ_{\text{zw}}}{SQ_{\text{ges}}}$. Im Beispiel ist $\eta^2 \approx 0{,}74$: Rund 74 % der Unterschiede in der Pflanzenhöhe gehen auf die Düngersorte zurück. Die Varianzanalyse setzt voraus, dass die Gruppen unabhängig, ungefähr normalverteilt und etwa gleich stark gestreut sind – das lässt sich bei zwei Gruppen mit dem F-Test von oben prüfen.

Varianzanalyse und t-Test

Bei genau zwei Gruppen liefert die Varianzanalyse dasselbe Ergebnis wie der gepoolte t-Test: Es gilt $F = t^2$ und $F_{1;\,d;\,1 - \alpha} = \left(t_{d;\,1 - \alpha/2}\right)^2$. Zum Beispiel ist $F_{1;\,20;\,0{,}95} \approx 4{,}351$ und $t_{20;\,0{,}975}^2 \approx 4{,}351$.

Kritische Werte der F-Verteilung (α = 5 %)

Die Tabelle enthält $F_{d_1;\,d_2;\,0{,}95}$ – den Wert, den $F$ unter $H_0$ nur mit 5 % Wahrscheinlichkeit überschreitet. Spalten: Freiheitsgrade des Zählers, Zeilen: des Nenners.

d₂ \ d₁	1	2	3	4	5	6	8	10	20
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,40	19,45
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,85	8,79	8,66
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,96	5,80
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,74	4,56
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,06	3,87
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,35	3,15
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,98	2,77
12	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,75	2,54
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,54	2,33
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,35	2,12
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,16	1,93
60	4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,10	1,99	1,75
120	3,92	3,07	2,68	2,45	2,29	2,18	2,02	1,91	1,66

Beliebige Daten mit ANOVA-Tafel, p-Wert und Grafik rechnet der Varianzanalyse-Rechner. Sind die Daten nicht normalverteilt, vergleicht der Mann-Whitney-U-Test zwei Gruppen nur über Ränge, der Kruskal-Wallis-Test drei und mehr Gruppen. Häufigkeiten statt Messwerte prüft der Chi-Quadrat-Test.

Übungsaufgaben

F-Test: Stufe 1 aus zwei Standardabweichungen, Stufe 2 aus Umfängen und Standardabweichungen mit Entscheidung, Stufe 3 aus Messwerten.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: F aus zwei Standardabweichungen

Aufgabe 1
Gruppe A: $s_A = 2{,}6,$ Gruppe B: $s_B = 7{,}1$. Testgröße $F\text{?}$

$F \approx$

$F = \tfrac{s_B^2}{s_A^2}$ $= \tfrac{7{,}1^2}{2{,}6^2}$ $= \tfrac{50{,}41}{6{,}76}$ $\approx 7{,}457$
Aufgabe 2
Gruppe A: $s_A = 2{,}5,$ Gruppe B: $s_B = 4{,}3$. Testgröße $F\text{?}$

$F \approx$

$F = \tfrac{s_B^2}{s_A^2}$ $= \tfrac{4{,}3^2}{2{,}5^2}$ $= \tfrac{18{,}49}{6{,}25}$ $\approx 2{,}958$
Aufgabe 3
Gruppe A: $s_A = 4{,}8,$ Gruppe B: $s_B = 5{,}7$. Testgröße $F\text{?}$

$F \approx$

$F = \tfrac{s_B^2}{s_A^2}$ $= \tfrac{5{,}7^2}{4{,}8^2}$ $= \tfrac{32{,}49}{23{,}04}$ $\approx 1{,}41$
Aufgabe 4
Gruppe A: $s_A = 3{,}8,$ Gruppe B: $s_B = 1{,}3$. Testgröße $F\text{?}$

$F \approx$

$F = \tfrac{s_A^2}{s_B^2}$ $= \tfrac{3{,}8^2}{1{,}3^2}$ $= \tfrac{14{,}44}{1{,}69}$ $\approx 8{,}544$
Aufgabe 5
Gruppe A: $s_A = 9{,}1,$ Gruppe B: $s_B = 6{,}6$. Testgröße $F\text{?}$

$F \approx$

$F = \tfrac{s_A^2}{s_B^2}$ $= \tfrac{9{,}1^2}{6{,}6^2}$ $= \tfrac{82{,}81}{43{,}56}$ $\approx 1{,}901$
Aufgabe 6
Gruppe A: $s_A = 2{,}6,$ Gruppe B: $s_B = 1{,}6$. Testgröße $F\text{?}$

$F \approx$

$F = \tfrac{s_A^2}{s_B^2}$ $= \tfrac{2{,}6^2}{1{,}6^2}$ $= \tfrac{6{,}76}{2{,}56}$ $\approx 2{,}641$

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: F-Test: zwei Varianzen vergleichen

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.

Varianzanalyse: Stufe 1 aus den Quadratsummen, Stufe 2 aus Gruppenmitteln und Varianzen, Stufe 3 aus Messwerten.