Exakter Test nach Fisher
Ob zwei Merkmale zusammenhängen, prüft man bei einer Vierfeldertafel meist mit dem χ²-Test. Der rechnet aber nur näherungsweise und wird unzuverlässig, wenn erwartete Häufigkeiten unter 5 liegen – typisch für kleine Studien. Der exakte Test nach Fisher kommt ohne Näherung aus: Er berechnet die Wahrscheinlichkeit jeder möglichen Tafel genau.
Die Idee: Randsummen festhalten
Hilft das Stärkungsmittel?
Zwölf Tomatenpflanzen, sechs davon bekommen ein Pflanzenstärkungsmittel. Nach vier Wochen wird gezählt, welche Pflanzen gesund sind:
| gesund | krank | Summe | |
|---|---|---|---|
| mit Mittel | a = 5 | b = 1 | 6 |
| ohne Mittel | c = 1 | d = 5 | 6 |
| Summe | 6 | 6 | 12 |
Wäre das Mittel wirkungslos, hätte es keine Rolle gespielt, welche Pflanzen es bekommen. Die sechs gesunden Pflanzen hätten sich dann rein zufällig auf die beiden Zeilen verteilt – wie beim Ziehen von 6 Kugeln aus einer Urne mit 6 „Mittel“- und 6 „ohne“-Kugeln.
Hält man alle Randsummen fest, bestimmt die Zahl $a$ oben links schon die ganze Tafel. Unter $H_0$ (kein Zusammenhang) ist $a$ hypergeometrisch verteilt:
Merke: Wahrscheinlichkeit einer Tafel
Der p-Wert ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Tafeln, die mindestens so stark gegen $H_0$ sprechen wie die beobachtete.
Alle möglichen Tafeln
Mit den Randsummen 6 | 6 und 6 | 6 kann $a$ die Werte 0 bis 6 annehmen. Weil hier beide Zeilen gleich groß sind, ist $P(X = a) = \frac{\binom{6}{a}^2}{\binom{12}{6}} = \frac{\binom{6}{a}^2}{924}$:
| a | Tafel (a | b / c | d) | Anzahl | P(X = a) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 6 / 6 | 0 | 1 | 0,0011 |
| 1 | 1 | 5 / 5 | 1 | 36 | 0,0390 |
| 2 | 2 | 4 / 4 | 2 | 225 | 0,2435 |
| 3 | 3 | 3 / 3 | 3 | 400 | 0,4329 |
| 4 | 4 | 2 / 2 | 4 | 225 | 0,2435 |
| 5 | 5 | 1 / 1 | 5 | 36 | 0,0390 |
| 6 | 6 | 0 / 0 | 6 | 1 | 0,0011 |
rechtsseitiger p-Wert: a = 5 und a = 6 · grün umrandet: beobachtete Tafel
Einseitig oder zweiseitig?
- Rechtsseitig ($H_1$: Mit Mittel sind mehr Pflanzen gesund): Man addiert die beobachtete und alle noch extremeren Tafeln, also $p = P(X \geq 5) = \frac{36 + 1}{924} \approx 0{,}04$. Bei α = 5 % wird $H_0$ abgelehnt.
- Zweiseitig ($H_1$: Es gibt irgendeinen Zusammenhang): Man addiert alle Tafeln, die höchstens so wahrscheinlich sind wie die beobachtete – hier $a = 0, 1, 5, 6$. Das ergibt $p \approx 0{,}0801$, und $H_0$ wird nicht abgelehnt.
Welche Gegenhypothese gilt, muss vor dem Blick auf die Daten feststehen. Wer erst danach die passende Seite wählt, mogelt sich zu einem signifikanten Ergebnis.
Vergleich mit dem χ²-Test
Bei Unabhängigkeit wären in jedem Feld $\frac{6 \cdot 6}{12} = 3$ Pflanzen zu erwarten – alle vier erwarteten Häufigkeiten liegen unter 5. Der χ²-Test ergäbe trotzdem $\chi^2 = 4 \cdot \frac{(5 - 3)^2}{3} \approx 5{,}33$ und $p \approx 0{,}021$ – er würde zweiseitig ablehnen, obwohl der exakte p-Wert über 5 % liegt. Die Näherung ist bei so kleinen Zahlen zu optimistisch. Die Yates-Korrektur macht sie vorsichtiger, der exakte Test bleibt aber die sichere Wahl.
| χ²-Test | exakter Test nach Fisher | |
|---|---|---|
| Rechnung | Näherung über die χ²-Verteilung | exakt über die hypergeometrische Verteilung |
| geeignet | alle erwarteten Häufigkeiten mindestens 5 | beliebig kleine Tafeln |
| Aufwand | gering, auch für große Tafeln | wächst mit N (Rechner nötig) |
| Tafelgröße | beliebig (r × c) | hier für 2 × 2 |
Stärke des Zusammenhangs: Odds-Ratio
Die Chance (Odds) gesund zu bleiben ist mit Mittel $\frac{5}{1} = 5$, ohne Mittel $\frac{1}{5} = 0{,}2$. Ihr Verhältnis ist das Odds-Ratio $OR = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} = \frac{5 \cdot 5}{1 \cdot 1} = 25$. $OR = 1$ bedeutet kein Zusammenhang, Werte weit über (oder unter) 1 einen starken. Ein großes OR allein beweist aber nichts – bei so wenigen Pflanzen kann es auch Zufall sein. Genau das prüft der Test.
Eigene Vierfeldertafeln mit allen Tafeln, Grafik und Vergleich rechnet der Fisher-Test-Rechner. Größere Tafeln prüft der Chi-Quadrat-Rechner; wie Vierfeldertafeln aufgebaut sind, zeigt die Seite bedingte Wahrscheinlichkeit.
Übungsaufgaben
Stufe 1: Wahrscheinlichkeit einer Tafel, Stufe 2: rechtsseitiger p-Wert, Stufe 3: erwartete Häufigkeiten und Odds-Ratio.
Stufe 3: Erwartete Häufigkeiten und Odds-Ratio
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Aufgabe 1
\(a = 5,\) \(b = 1,\) \(c = 3,\) \(d = 8\). Kleinste erwartete Häufigkeit und Odds-Ratio?\(E_{\min};\ OR\)Randsummen \(6,\) \(11 \,|\, 8,\) \(9;\) \(E_{\min} = \tfrac{6 \cdot 8}{17}\) \(\approx 2{,}82;\) \(OR = \tfrac{5 \cdot 8}{1 \cdot 3}\) \(\approx 13{,}33\) (unter 5: exakter Test)
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Aufgabe 2
\(a = 6,\) \(b = 4,\) \(c = 3,\) \(d = 3\). Kleinste erwartete Häufigkeit und Odds-Ratio?\(E_{\min};\ OR\)Randsummen \(10,\) \(6 \,|\, 9,\) \(7;\) \(E_{\min} = \tfrac{6 \cdot 7}{16}\) \(\approx 2{,}63;\) \(OR = \tfrac{6 \cdot 3}{4 \cdot 3}\) \(= 1{,}5\) (unter 5: exakter Test)
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Aufgabe 3
\(a = 2,\) \(b = 5,\) \(c = 6,\) \(d = 8\). Kleinste erwartete Häufigkeit und Odds-Ratio?\(E_{\min};\ OR\)Randsummen \(7,\) \(14 \,|\, 8,\) \(13;\) \(E_{\min} = \tfrac{7 \cdot 8}{21}\) \(\approx 2{,}67;\) \(OR = \tfrac{2 \cdot 8}{5 \cdot 6}\) \(\approx 0{,}53\) (unter 5: exakter Test)
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Aufgabe 4
\(a = 1,\) \(b = 2,\) \(c = 4,\) \(d = 3\). Kleinste erwartete Häufigkeit und Odds-Ratio?\(E_{\min};\ OR\)Randsummen \(3,\) \(7 \,|\, 5,\) \(5;\) \(E_{\min} = \tfrac{3 \cdot 5}{10}\) \(= 1{,}5;\) \(OR = \tfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\) \(\approx 0{,}38\) (unter 5: exakter Test)
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Aufgabe 5
\(a = 1,\) \(b = 5,\) \(c = 3,\) \(d = 5\). Kleinste erwartete Häufigkeit und Odds-Ratio?\(E_{\min};\ OR\)Randsummen \(6,\) \(8 \,|\, 4,\) \(10;\) \(E_{\min} = \tfrac{6 \cdot 4}{14}\) \(\approx 1{,}71;\) \(OR = \tfrac{1 \cdot 5}{5 \cdot 3}\) \(\approx 0{,}33\) (unter 5: exakter Test)
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Aufgabe 6
\(a = 2,\) \(b = 6,\) \(c = 6,\) \(d = 5\). Kleinste erwartete Häufigkeit und Odds-Ratio?\(E_{\min};\ OR\)Randsummen \(8,\) \(11 \,|\, 8,\) \(11;\) \(E_{\min} = \tfrac{8 \cdot 8}{19}\) \(\approx 3{,}37;\) \(OR = \tfrac{2 \cdot 5}{6 \cdot 6}\) \(\approx 0{,}28\) (unter 5: exakter Test)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Exakter Test nach Fisher
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
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