Fourier-Rechner
Gib eine Periode der Funktion ein – je Zeile ein Stück in der Form „Anfang bis Ende: Term in x“. Der Rechner bestimmt die Periode, die Koeffizienten $a_0$, $a_n$ und $b_n$ (exakt, wenn möglich als Formel in $n$), prüft sie numerisch und zeichnet die Funktion mit ihren Teilsummen.
Ergebnis
Fourierreihe der geraden Funktion mit der Periode $T = 2$ ($\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi$):
| n | an | bn | Amplitude √(an² + bn²) |
|---|---|---|---|
| 1 | $-\frac{4}{\pi^{2}}$ | $0$ | 0,4053 |
| 2 | $\frac{1}{\pi^{2}}$ | $0$ | 0,1013 |
| 3 | $-\frac{4}{9\,\pi^{2}}$ | $0$ | 0,045 |
| 4 | $\frac{1}{4\,\pi^{2}}$ | $0$ | 0,0253 |
| 5 | $-\frac{4}{25\,\pi^{2}}$ | $0$ | 0,0162 |
| 6 | $\frac{1}{9\,\pi^{2}}$ | $0$ | 0,0113 |
Rechenweg
Periode und Formeln
Die Periode ist $T = 2$, die Grundkreisfrequenz $\omega = 2\pi/T = \pi$. Die Koeffizienten sind Integrale über eine Periode:
\[a_n = \frac{2}{T}\int_{-1}^{1} f(x)\cos(n\omega x)\,\mathrm{d}x,\qquad b_n = \frac{2}{T}\int_{-1}^{1} f(x)\sin(n\omega x)\,\mathrm{d}x\]Symmetrie ausnutzen
f ist gerade ($f(-x) = f(x)$). Dann ist $f(x)\sin(n\omega x)$ ungerade und alle $b_n = 0$ – es bleibt eine reine Kosinusreihe. Für die $a_n$ reicht die halbe Periode (doppelt gezählt).
Koeffizienten berechnen
Stückweise integrieren (bei Produkten mit $x$ oder $x^2$ partiell integrieren). Mit $\sin(n\pi) = 0$ und $\cos(n\pi) = (-1)^n$ für ganze $n$ vereinfacht sich das Ergebnis:
\[a_0 = \frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{a_0}{2} = \frac{1}{3}\ \text{(Mittelwert von f)}\]\[a_n = \frac{4\,\left(-1\right)^{n}}{\pi^{2}\,n^{2}}\]Teilsumme bis n = 3
Die ersten Glieder der Reihe:
\[S_3(x) = \frac{1}{3} + \left(-\frac{4}{\pi^{2}}\right)\cos(\pi\,1 x) + \frac{1}{\pi^{2}}\cos(\pi\,2 x) + \left(-\frac{4}{9\,\pi^{2}}\right)\cos(\pi\,3 x)\]
Funktion und Teilsummen
Eingabe – so geht’s
| Funktion | Eingabe |
|---|---|
| $f(x) = x$ für $-\pi \le x < \pi$ | -pi bis pi: x |
| $f = -1$ links, $f = 1$ rechts von 0 | -pi bis 0: -10 bis pi: 1 |
| $f(x) = e^x$ auf $[0; 2\pi)$ | 0 bis 2pi: e^x |
| Periode 1 mit $f(x) = x(1 - x)$ | 0 bis 1: x*(1-x) |
Tipp
Liegt die Periode symmetrisch um 0 (z. B. von $-\pi$ bis $\pi$), erkennt der Rechner gerade und ungerade Funktionen und sagt Dir, welche Koeffizienten wegfallen. Bei Sonderfällen wie $n = 1$ beim Einweggleichrichter (dort würde die allgemeine Formel durch 0 teilen) wird der Koeffizient gesondert berechnet.
Die Erklärung mit Rechteck-, Sägezahn- und Dreieckschwingung, dem Gibbs-Phänomen und Übungen findest Du unter Fourierreihen. Einzelne Integrale rechnet der Integralrechner; Funktionen zeichnet der Funktionsplotter.
Weiterlesen: Fourierreihe bei Wikipedia