Fourierreihen
Jede „vernünftige“ periodische Funktion lässt sich aus Sinus- und Kosinusschwingungen zusammensetzen: einer Grundschwingung und ihren Oberschwingungen mit doppelter, dreifacher, … Frequenz. Die Fourierreihe gibt an, wie stark jede dieser Schwingungen beteiligt ist – so arbeiten Klanganalyse, Bildkompression und viele Verfahren der Signalverarbeitung.
Die Formeln für die Periode 2π
Fourierreihe einer 2π-periodischen Funktion
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\bigr)$$
mit den Fourierkoeffizienten
$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x \quad (n \ge 0),\qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x \quad (n \ge 1).$$
$\frac{a_0}{2}$ ist der Mittelwert von $f$ über eine Periode. Statt von $-\pi$ bis $\pi$ darf man über jedes Intervall der Länge $2\pi$ integrieren.
Woher kommen die Formeln? Sinus und Kosinus mit verschiedenen $n$ sind „orthogonal“: $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx)\,\mathrm{d}x = 0$ für $n \ne m$, ebenso für die anderen Paare. Multipliziert man die Reihe mit $\cos(nx)$ und integriert, bleibt nur das eine Glied mit $a_n$ übrig – das Integral filtert den passenden Koeffizienten heraus.
Beispiel: die Rechteckschwingung
$f(x) = -1$ für $-\pi < x < 0$ und $f(x) = 1$ für $0 < x < \pi$, periodisch fortgesetzt. f ist ungerade, also sind alle $a_n = 0$ (siehe unten). Für die $b_n$:
$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin(nx)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi n}\bigl(1 - (-1)^n\bigr) = \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ ungerade} \\ 0 & n \text{ gerade} \end{cases}$$
$$f(x) \sim \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin(3x)}{3} + \frac{\sin(5x)}{5} + \ldots\right).$$
Teilsummen ausprobieren
Wähle eine Schwingung und schiebe den Regler: Die rote Kurve ist die Teilsumme $S_N$ mit allen Gliedern bis $n = N$. Darunter siehst Du die Amplituden $\sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ – das Spektrum der Funktion.
Die Teilsumme mit Gliedern bis n = 5 schwingt kurz vor dem Sprung über den Wert 1 hinaus.
Gibbs-Phänomen
An einer Sprungstelle schießen die Teilsummen über das Ziel hinaus – um etwa 9 % der Sprunghöhe. Mit mehr Gliedern wird die Spitze schmaler und rückt näher an den Sprung, aber sie wird nicht kleiner. Die Reihe konvergiert trotzdem: an jeder festen Stelle neben dem Sprung, nur eben nicht gleichmäßig.
Gerade und ungerade Funktionen
| f ist … | Bedingung | Folge für die Reihe |
|---|---|---|
| gerade (achsensymmetrisch) | $f(-x) = f(x)$ | alle $b_n = 0$ – reine Kosinusreihe, $a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x$ |
| ungerade (punktsymmetrisch) | $f(-x) = -f(x)$ | alle $a_n = 0$ – reine Sinusreihe, $b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x$ |
Der Grund: Das Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade, und das Integral einer ungeraden Funktion über $[-\pi; \pi]$ ist 0. Symmetrie vorher zu prüfen, halbiert die Arbeit.
Beispiel: Dreieckschwingung |x| – und eine berühmte Summe
$f(x) = |x|$ auf $[-\pi; \pi]$ ist gerade. Mit partieller Integration:
$$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\,\mathrm{d}x = \pi,\qquad a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\cos(nx)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{\pi}\left[\frac{x\sin(nx)}{n} + \frac{\cos(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi} = \frac{2\bigl((-1)^n - 1\bigr)}{\pi n^2}.$$
Also $|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left(\cos x + \frac{\cos(3x)}{9} + \frac{\cos(5x)}{25} + \ldots\right)$. Setzt man $x = 0$ ein, folgt $1 + \frac19 + \frac1{25} + \ldots = \frac{\pi^2}{8}$. Die geraden Glieder $\frac14 + \frac1{16} + \ldots$ sind ein Viertel der ganzen Summe – damit ist $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
Beliebige Periode T
Hat f die Periode $T$, ersetzt man $nx$ durch $n\omega x$ mit der Grundkreisfrequenz $\omega = \frac{2\pi}{T}$:
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl(a_n\cos(n\omega x) + b_n\sin(n\omega x)\bigr),\qquad a_n = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(x)\cos(n\omega x)\,\mathrm{d}x,\quad b_n = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(x)\sin(n\omega x)\,\mathrm{d}x.$$
Beispiel: $f(x) = x^2$ auf $[-1; 1]$ (Periode 2, $\omega = \pi$) hat $a_0 = \frac23$ und $a_n = \frac{4(-1)^n}{\pi^2 n^2}$.
Wann stimmt die Reihe mit f überein?
- Ist f stückweise stetig differenzierbar (endlich viele Stücke je Periode), dann konvergiert die Fourierreihe an jeder Stelle.
- Wo f stetig ist, ist der Grenzwert $f(x)$. An einer Sprungstelle ist er der Mittelwert aus linkem und rechtem Grenzwert – bei der Rechteckschwingung also 0 an den Stellen $0, \pm\pi, \ldots$
- Die Koeffizienten fallen umso schneller, je glatter f ist: bei Sprüngen etwa wie $\frac1n$, bei Knicken (wie $|x|$) wie $\frac{1}{n^2}$.
Komplexe Schreibweise
Mit $e^{inx} = \cos(nx) + i\sin(nx)$ lässt sich die Reihe kürzer schreiben: $f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega x}$ mit $c_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(x)\,e^{-in\omega x}\,\mathrm{d}x$. Für reelle f gilt $c_n = \frac12(a_n - i b_n)$ für $n \ge 1$.
Typische Fehler
- a₀ nicht halbiert: Das konstante Glied der Reihe ist $\frac{a_0}{2}$, nicht $a_0$.
- Vorfaktor bei anderer Periode: $\frac{2}{T}$ statt $\frac{1}{\pi}$, und im Argument $n\omega x$ statt $nx$.
- cos(nπ) falsch vereinfacht: $\cos(n\pi) = (-1)^n$ und $\sin(n\pi) = 0$ gelten nur für ganze Zahlen n.
- Stückweise Funktionen in einem Integral: Über jedes Stück getrennt integrieren und addieren.
Online üben: Fourierreihen
Stufe 1: einzelner Koeffizient
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Aufgabe 1
\(f(x) = 3\ \text{für } x\) \(< 0,\) \(f(x) = -3\ \text{für } x\) \(> 0\ \text{auf } (-\pi; \pi),\) periodisch fortgesetzt\(:\) \(b_{3} = \,?\)\(b_3 =\)\(b_{3} = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} -3\sin(3x)\,\mathrm{d}x = \frac{-4}{\pi}\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = -x^{2}\ \text{auf } (-\pi; \pi),\) periodisch fortgesetzt\(:\) \(a_{1} = \,?\)\(a_1 =\)\(a_{1} = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} -x^{2}\cos(x)\,\mathrm{d}x = 4\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = -4\ \text{für } x\) \(< 0,\) \(f(x) = 4\ \text{für } x\) \(> 0\ \text{auf } (-\pi; \pi),\) periodisch fortgesetzt\(:\) \(b_{3} = \,?\)\(b_3 =\)\(b_{3} = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} 4\sin(3x)\,\mathrm{d}x = \frac{16}{3\pi}\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = |x|\ \text{auf } (-\pi; \pi),\) periodisch fortgesetzt\(:\) \(a_{3} = \,?\)\(a_3 =\)\(a_{3} = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\cos(3x)\,\mathrm{d}x = -\frac{4}{9\pi}\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = 4x^{2}\ \text{auf } (-\pi; \pi),\) periodisch fortgesetzt\(:\) \(a_{3} = \,?\)\(a_3 =\)\(a_{3} = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} 4x^{2}\cos(3x)\,\mathrm{d}x = -\frac{16}{9}\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = -4x\ \text{auf } (-\pi; \pi),\) periodisch fortgesetzt\(:\) \(b_{4} = \,?\)\(b_4 =\)\(b_{4} = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} -4x\sin(4x)\,\mathrm{d}x = 2\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Fourierreihen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Eigene Funktionen zerlegen? Der Fourier-Rechner berechnet $a_n$ und $b_n$ für stückweise definierte Funktionen und zeichnet die Teilsummen. Die Grundlagen zu Sinus und Kosinus findest Du unter trigonometrische Funktionen, zum Integrieren unter Integrationsmethoden.
Weiterlesen: Fourierreihe, Gibbssches Phänomen bei Wikipedia