Freiheitsgrade
Bei fast jedem Test taucht eine Angabe wie „$df = 9$“ auf – ohne sie findet man weder den kritischen Wert noch den p-Wert. Die Zahl der Freiheitsgrade (englisch degrees of freedom) gibt an, wie viele Werte in einer Rechnung noch frei schwanken können, nachdem man aus den Daten schon etwas festgelegt hat.
Die Idee an einem Beispiel
Denk Dir fünf Zahlen, deren Mittelwert 10 sein soll. Die ersten vier darfst Du beliebig wählen, etwa 7, 12, 9 und 15. Die fünfte ist dann aber nicht mehr frei: Die Summe muss $5 \cdot 10 = 50$ sein, also bleibt nur $50 - 43 = 7$.
| Zahl | 7 | 12 | 9 | 15 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|
| frei | frei | frei | frei | fest |
Merke
Freiheitsgrade = Anzahl der Werte − Anzahl der Bedingungen, die aus den Daten festgelegt wurden. Jeder Kennwert, den man aus der Stichprobe schätzt (ein Mittelwert, ein Parameter λ, eine Randsumme), kostet einen Freiheitsgrad.
Warum die Stichprobenvarianz durch n − 1 teilt
Die Abweichungen $x_i - \overline{x}$ vom Mittelwert addieren sich immer zu 0. Von den $n$ Abweichungen sind deshalb nur $n - 1$ frei – die letzte ergibt sich aus den anderen. Teilt man die Quadratsumme durch $n$, wird die Varianz der Grundgesamtheit im Mittel unterschätzt, weil der Mittelwert $\overline{x}$ selbst schon so gut wie möglich zu den Daten passt. Mit $n - 1$ ist die Schätzung im Mittel richtig:
Wie man $s^2$ Schritt für Schritt ausrechnet, zeigt die Seite Varianz und Standardabweichung.
Freiheitsgrade der t-Verteilung
Der t-Test benutzt $s$ statt der unbekannten Standardabweichung $\sigma$. Weil $s$ selbst schwankt, sind die Werte von $t$ breiter gestreut als die der Normalverteilung – umso mehr, je weniger Freiheitsgrade $s$ hat:
df = 1 df = 3 df = 10 Normalverteilung
| df | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | 20 | 30 | 100 | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $t_{df;\,0{,}975}$ | 12,706 | 4,303 | 3,182 | 2,571 | 2,228 | 2,086 | 2,042 | 1,984 | 1,960 |
Mit wachsender Zahl der Freiheitsgrade nähert sich der kritische Wert der Zahl 1,96 der Normalverteilung. Bei einer Stichprobe ist $df = n - 1$, bei zwei Gruppen mit gepoolter Varianz $df = n_1 + n_2 - 2$ (zwei Mittelwerte geschätzt). Beim Welch-Test ergibt sich $df$ aus einer Formel und ist meist keine ganze Zahl.
Freiheitsgrade beim Chi-Quadrat-Test
Beim Anpassungstest mit $k$ Kategorien liegt die Gesamtzahl $N$ fest. Kennt man $k - 1$ Häufigkeiten, ist die letzte bestimmt: $df = k - 1$. Für jeden Parameter, den man aus den Daten schätzt (etwa λ bei einer Poisson-Verteilung), geht ein weiterer Freiheitsgrad verloren: $df = k - 1 - m$.
Beim Unabhängigkeitstest sind die Randsummen vorgegeben. In einer Tafel mit $r$ Zeilen und $c$ Spalten kann man nur die Felder oben links frei füllen – die letzte Zeile und die letzte Spalte ergeben sich aus den Summen:
| 1 | 2 | 3 | 4 | Summe | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | frei | frei | frei | fest | gegeben |
| 2 | frei | frei | frei | fest | gegeben |
| 3 | fest | fest | fest | fest | gegeben |
| Summe | gegeben | gegeben | gegeben | gegeben | N |
Bei 3 Zeilen und 4 Spalten sind das $(3 - 1) \cdot (4 - 1) = 6$ freie Felder, also $df = (r - 1)(c - 1) = 6$. Eine Vierfeldertafel hat nur einen Freiheitsgrad. Rechnen kannst Du beides mit dem Chi-Quadrat-Rechner.
Zwei Freiheitsgrade beim F-Test
Die F-Verteilung ist der Quotient zweier Varianzschätzungen. Jede bringt ihre eigenen Freiheitsgrade mit: $d_1$ für den Zähler, $d_2$ für den Nenner. Die Reihenfolge ist wichtig – $F_{3;\,20}$ und $F_{20;\,3}$ sind verschiedene Verteilungen.
- F-Test für zwei Varianzen: $(n_1 - 1;\ n_2 - 1)$
- Varianzanalyse mit $k$ Gruppen und $N$ Werten: zwischen den Gruppen $k - 1$ (die $k$ Gruppenmittel schwanken um das Gesamtmittel), innerhalb der Gruppen $N - k$ (in jeder Gruppe wurde ein Mittelwert geschätzt). Zusammen ergibt das $N - 1$.
Übersicht
| Verfahren | Freiheitsgrade | Warum? |
|---|---|---|
| Stichprobenvarianz $s^2$, Konfidenzintervall für $\mu$ | $n - 1$ | ein Mittelwert geschätzt |
| Ein-Stichproben-t-Test, gepaarter t-Test | $n - 1$ | gepaart: $n$ Differenzen, ein Mittelwert |
| Zwei-Stichproben-t-Test (gepoolt) | $n_1 + n_2 - 2$ | zwei Mittelwerte geschätzt |
| χ²-Anpassungstest | $k - 1 - m$ | Summe fest, $m$ Parameter geschätzt |
| χ²-Unabhängigkeitstest | $(r - 1)(c - 1)$ | alle Randsummen fest |
| F-Test für zwei Varianzen | $(n_1 - 1;\ n_2 - 1)$ | je ein Mittelwert pro Gruppe |
| einfaktorielle Varianzanalyse | $(k - 1;\ N - k)$ | Gesamtmittel bzw. $k$ Gruppenmittel geschätzt |
| Regressionsgerade (Test der Steigung) | $n - 2$ | Achsenabschnitt und Steigung geschätzt |
Der Mann-Whitney-U-Test braucht übrigens keine Freiheitsgrade: Er arbeitet mit der exakten Verteilung der Ränge oder mit der Normalverteilung.
Übungsaufgaben
Stufe 1: t-Verteilung, Stufe 2: χ²-Verteilung, Stufe 3: F-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden.
Stufe 1: t-Verteilung
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Aufgabe 1
Zwei Gruppen mit \(n_1 = 18 \text{ und } n_2 = 12\): Freiheitsgrade der gepoolten Varianz \(s_p^2\text{?}\)\(df =\)\(df = (n_1 - 1) + (n_2 - 1) = 28\)
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Aufgabe 2
Konfidenzintervall für \(\mu \text{ (} \sigma\) unbekannt) aus \(n = 19\) Werten. Freiheitsgrade der t-Verteilung?\(df =\)\(df = n - 1 = 18\)
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Aufgabe 3
Zwei-Stichproben-t-Test (gleiche Varianzen) mit \(n_1 = 7,\) \(n_2 = 20\). Freiheitsgrade?\(df =\)\(df = n_1 + n_2 - 2 = 25\)
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Aufgabe 4
Zwei Gruppen mit \(n_1 = 19 \text{ und } n_2 = 18\): Freiheitsgrade der gepoolten Varianz \(s_p^2\text{?}\)\(df =\)\(df = (n_1 - 1) + (n_2 - 1) = 35\)
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Aufgabe 5
Konfidenzintervall für \(\mu \text{ (} \sigma\) unbekannt) aus \(n = 36\) Werten. Freiheitsgrade der t-Verteilung?\(df =\)\(df = n - 1 = 35\)
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Aufgabe 6
Gepaarter t-Test: 19 Personen jeweils vorher und nachher gemessen. Freiheitsgrade?\(df =\)Differenzen bilden: \(df = n - 1 = 18\)
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Aufgabe 7
Konfidenzintervall für \(\mu \text{ (} \sigma\) unbekannt) aus \(n = 37\) Werten. Freiheitsgrade der t-Verteilung?\(df =\)\(df = n - 1 = 36\)
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Aufgabe 8
Gepaarter t-Test: 25 Personen jeweils vorher und nachher gemessen. Freiheitsgrade?\(df =\)Differenzen bilden: \(df = n - 1 = 24\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Freiheitsgrade bei t-, χ²- und F-Tests
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Weiterlesen: Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik) bei Wikipedia