Grenzwert-Rechner
Gib einen Funktionsterm und die Stelle ein, gegen die $x$ laufen soll – eine Zahl, inf für $+\infty$ oder -inf für $-\infty$. Der Rechner erkennt, ob Du einfach einsetzen kannst, ob ein unbestimmter Ausdruck wie „0/0“ vorliegt oder ob eine Polstelle im Spiel ist, und zeigt den passenden Rechenweg.
So bestimmst Du einen Grenzwert
- Einsetzen versuchen. Ist $f$ bei $x_0$ stetig (z. B. ein Polynom, $e^x$, $\sin x$), ist der Grenzwert einfach $f(x_0)$.
- Kommt „0/0“ oder „∞/∞“ heraus, ist das ein unbestimmter Ausdruck – da kann alles herauskommen. Dann umformen: faktorisieren und kürzen, höchste Potenz ausklammern oder L’Hospital anwenden.
- Kommt „Zahl/0“ heraus (Zahl ≠ 0), liegt eine Polstelle vor. Die Funktion geht gegen $+\infty$ oder $-\infty$ – oft von links und rechts verschieden. Dann die einseitigen Grenzwerte untersuchen.
Polynombrüche für x → ±∞
Klammere im Zähler und im Nenner die höchste Potenz des Nenners aus:
Kurzregel: Zählergrad kleiner → $0$. Gleicher Grad → Quotient der Leitkoeffizienten. Zählergrad größer → $\pm\infty$.
Beispiel: „0/0“ durch Kürzen
$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$: Einsetzen ergibt $\frac{0}{0}$. Mit der dritten binomischen Formel ist $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$:
Bei $x = 2$ hat die Funktion eine hebbare Definitionslücke: Der Graph ist die Gerade $y = x + 2$ mit einem „Loch“ bei $(2 \mid 4)$.
Die Regel von L’Hospital
Regel von L’Hospital
Liefert $\frac{f(x)}{g(x)}$ für $x \to x_0$ (auch $x_0 = \pm\infty$) den Ausdruck $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$, dann gilt – falls der rechte Grenzwert existiert –
Zähler und Nenner werden getrennt abgeleitet – keine Quotientenregel!
Beispiel: L’Hospital zweimal
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ ergibt $\frac{0}{0}$. Ableiten: $\frac{\sin x}{2x}$ – wieder $\frac{0}{0}$. Noch einmal ableiten:
Beispiel: „0 · ∞“ erst in einen Bruch umformen
$x \cdot \ln x$ für $x \to 0^+$ ist vom Typ „$0 \cdot (-\infty)$“. Schreibe es als Bruch mit „∞/∞“:
Ähnlich gilt: $e^x$ wächst schneller als jede Potenz, jede Potenz schneller als $\ln x$. Daher $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ und $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$.
Typische Fehler
- L’Hospital anwenden, obwohl kein „0/0“ oder „∞/∞“ vorliegt: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}$, aber „abgeleitet“ käme $1$ heraus.
- Den Bruch mit der Quotientenregel ableiten statt Zähler und Nenner einzeln.
- „$\frac{0}{0} = 0$“ oder „$\frac{\infty}{\infty} = 1$“ schreiben – unbestimmte Ausdrücke haben keinen festen Wert.
- Bei Polstellen nur eine Seite prüfen: $\frac{1}{x - 1}$ geht links gegen $-\infty$ und rechts gegen $+\infty$ – der beidseitige Grenzwert existiert nicht.
Online üben
Stufe 1: Polynombrüche
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Aufgabe 1
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2} - 4x + 2}{2x^{2} - 6}\)\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2} - 4x + 2}{2x^{2} - 6} = \frac{3}{2}\)
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Aufgabe 2
\(\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} + x - 30}{x^{2} - 2x - 15}\)\(\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} + x - 30}{x^{2} - 2x - 15} = \frac{11}{8}\)
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Aufgabe 3
\(\lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 81}{x - 3}\)\(\lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 81}{x - 3} = 108\)
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Aufgabe 4
\(\lim_{x \to -5} \frac{x^{2} - 25}{x + 5}\)\(\lim_{x \to -5} \frac{x^{2} - 25}{x + 5} = -10\)
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Aufgabe 5
\(\lim_{x \to \infty} \frac{6x + 4}{3x - 1}\)\(\lim_{x \to \infty} \frac{6x + 4}{3x - 1} = 2\)
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Aufgabe 6
\(\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} + 2x - 24}{x^{2} - 10x + 24}\)\(\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} + 2x - 24}{x^{2} - 10x + 24} = -5\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Grenzwerte und Regel von L’Hospital
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Die Grundlagen – Grenzwert, Stetigkeit, h-Methode – stehen unter Grenzwerte und Stetigkeit. Ein zweiter Weg zu vielen Grenzwerten führt über das Taylorpolynom. Für Brüche mit Polynomen hilft auch die Polynomdivision.
Weiterlesen: Grenzwert (Funktion) bei Wikipedia