Jacobi-Matrix, Kettenregel und Taylorpolynom in mehreren Variablen
Bei einer Variablen ist die Ableitung eine Zahl: die Steigung der Tangente. Bei Funktionen mit mehreren Ein- und Ausgaben übernimmt eine Matrix diese Rolle – die Jacobi-Matrix. Mit ihr lassen sich Kettenregel, lineare Näherung, Taylorpolynom und Newton-Verfahren genauso aufschreiben wie in der Schule, nur eben mit Vektoren.
Die Jacobi-Matrix
Eine Funktion $F$ bekommt einen Vektor $(x, y)$ und liefert wieder einen Vektor $(F_1, F_2)$ – zum Beispiel die Umrechnung von Polar- in kartesische Koordinaten. Jede Komponente kann man nach jeder Variablen partiell ableiten. Alle diese Ableitungen zusammen bilden die Jacobi-Matrix:
Jacobi-Matrix
$$J_F(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_1}{\partial y} \\[4pt] \frac{\partial F_2}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial y} \end{pmatrix}$$
Zeile $i$ = Gradient der $i$-ten Komponente, Spalte $j$ = Ableitungen nach der $j$-ten Variablen. Bei $m$ Komponenten und $n$ Variablen ist $J_F$ eine $m \times n$-Matrix. Für eine einzelne Funktion $f(x, y)$ ist $J_f$ eine Zeile – der Gradient.
Beispiel 1: F(x, y) = (x²y | x + sin y) im Punkt (1 | 0)
$$J_F = \begin{pmatrix} 2xy & x^2 \\ 1 & \cos y \end{pmatrix},\qquad J_F(1 \mid 0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$
Bedeutung: Für kleine Änderungen $\vec h = (h_1 \mid h_2)$ gilt $F(1 + h_1, h_2) \approx F(1, 0) + J_F(1 \mid 0)\,\vec h = \begin{pmatrix} h_2 \\ 1 + h_1 + h_2 \end{pmatrix}$. Die Jacobi-Matrix ist die beste lineare Näherung von $F$ – das Gegenstück zur Tangente.
Die Jacobi-Determinante
Hat $F$ genauso viele Komponenten wie Variablen, ist $J_F$ quadratisch und hat eine Determinante. Sie gibt an, um welchen Faktor $F$ kleine Flächen (in 3D: Volumen) vergrößert oder verkleinert. Ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass die Orientierung umgedreht wird.
| Transformation | Jacobi-Determinante |
|---|---|
| Polarkoordinaten $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$ | $r$ |
| Ellipsenkoordinaten $x = a\,r\cos\varphi$, $y = b\,r\sin\varphi$ | $a\,b\,r$ |
| lineare Abbildung $\vec x = A\vec u$ | $\det A$ (konstant) |
| Zylinderkoordinaten $(r\cos\varphi, r\sin\varphi, z)$ | $r$ |
| Kugelkoordinaten $(r\sin\vartheta\cos\varphi, r\sin\vartheta\sin\varphi, r\cos\vartheta)$ | $r^2\sin\vartheta$ |
Deshalb taucht die Jacobi-Determinante bei der Substitution in Doppelintegralen auf: $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = |\det J|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$. Ist $\det J_F(P) \ne 0$, ist $F$ in der Nähe von $P$ umkehrbar (Satz von der Umkehrabbildung).
Die mehrdimensionale Kettenregel
Bewegt sich ein Punkt auf einer Kurve $(x(t), y(t))$ durch eine „Landschaft“ $f(x, y)$, ändert sich der Funktionswert aus zwei Gründen: weil sich $x$ ändert und weil sich $y$ ändert. Beide Anteile werden addiert:
Kettenregel entlang einer Kurve
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(x(t), y(t)) = f_x\,\dot x(t) + f_y\,\dot y(t) = \operatorname{grad} f \cdot \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}.$$
Allgemein für verkettete Abbildungen: $J_{F \circ G} = J_F(G) \cdot J_G$ – die Jacobi-Matrizen werden multipliziert. Bei einer Variablen ist das die bekannte Kettenregel „äußere mal innere Ableitung“.
Beispiel 2: f(x, y) = x²y entlang des Einheitskreises
Mit $x = \cos t$, $y = \sin t$ ist $f_x = 2xy$, $f_y = x^2$, $\dot x = -\sin t$, $\dot y = \cos t$:
$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = 2\cos t \sin t \cdot (-\sin t) + \cos^2 t \cdot \cos t = \cos^3 t - 2\cos t\,\sin^2 t.$$
Probe: Erst einsetzen, $f(x(t), y(t)) = \cos^2 t \sin t$, dann mit Produkt- und Kettenregel ableiten – es kommt dasselbe heraus. Bei $t = \frac{\pi}{4}$ ergibt sich $\frac{\sqrt2}{4} - \frac{\sqrt2}{2} = -\frac{\sqrt2}{4} \approx -0{,}354$: Auf dem Kreis geht es dort gerade bergab.
Zusammenhang mit der Richtungsableitung
Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit $\vec v$ geradeaus, ist $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \operatorname{grad} f \cdot \vec v$. Für einen Einheitsvektor $\vec v$ ist das genau die Richtungsableitung.
Taylorpolynom 2. Ordnung in zwei Variablen
Das Taylorpolynom einer Variablen nähert eine Funktion durch eine Parabel an. In zwei Variablen nimmt man alle Ableitungen bis zur 2. Ordnung – also Gradient und Hesse-Matrix:
Taylorpolynom 2. Ordnung im Punkt P(x₀ | y₀)
$$T_2(x, y) = f + f_x\,h + f_y\,k + \tfrac12\left(f_{xx}\,h^2 + 2 f_{xy}\,h k + f_{yy}\,k^2\right)\quad\text{mit } h = x - x_0,\ k = y - y_0,$$
alle Ableitungen in $P$ ausgewertet. Kurz: $T_2 = f(P) + \operatorname{grad} f(P) \cdot \vec h + \tfrac12\,\vec h^{\mathsf T} H_f(P)\,\vec h$. Der Fehler ist für kleine $\vec h$ von der Größenordnung $|\vec h|^3$.
Beispiel 3: f(x, y) = e^x·cos y im Punkt (0 | 0)
$f = 1$, $f_x = e^x\cos y = 1$, $f_y = -e^x\sin y = 0$, $f_{xx} = 1$, $f_{xy} = -e^x\sin y = 0$, $f_{yy} = -e^x\cos y = -1$:
$$T_2(x, y) = 1 + x + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 y^2.$$
Schneller geht es hier mit bekannten Reihen: $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$ und $\cos y \approx 1 - \frac{y^2}{2}$ multiplizieren und nur Glieder bis Grad 2 behalten. Bei $(0{,}1 \mid 0{,}1)$ ist $f \approx 1{,}09964$ und $T_2 = 1{,}105$ – fast gleich.
Das Taylorpolynom erklärt auch, warum die Hesse-Matrix über Extremwerte entscheidet: In einem kritischen Punkt ist $\operatorname{grad} f = \vec 0$, also bleibt $f \approx f(P) + \frac12 \vec h^{\mathsf T} H_f \vec h$ – und ob dieser quadratische Anteil immer positiv, immer negativ oder gemischt ist, legt Minimum, Maximum oder Sattelpunkt fest.
Newton-Verfahren für Gleichungssysteme
Das Newton-Verfahren sucht Nullstellen, indem es die Funktion durch ihre Tangente ersetzt. Für ein System $F(x, y) = \vec 0$ aus zwei Gleichungen ersetzt man $F$ durch die lineare Näherung mit der Jacobi-Matrix und löst in jedem Schritt ein lineares Gleichungssystem:
Newton-Schritt in 2D
$$J_F(\vec x_n)\,\Delta\vec x = -F(\vec x_n),\qquad \vec x_{n+1} = \vec x_n + \Delta\vec x.$$
Gleichbedeutend: $\vec x_{n+1} = \vec x_n - J_F(\vec x_n)^{-1} F(\vec x_n)$. Nahe an einer Lösung verdoppelt sich die Zahl der richtigen Stellen in jedem Schritt.
Beispiel 4: Schnittpunkt von Kreis x² + y² = 4 und Hyperbel x·y = 1
$F = \begin{pmatrix} x^2 + y^2 - 4 \\ xy - 1 \end{pmatrix}$, $J_F = \begin{pmatrix} 2x & 2y \\ y & x \end{pmatrix}$. Start bei $(2 \mid 0{,}5)$: $F = (0{,}25 \mid 0)$, $J_F = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0{,}5 & 2 \end{pmatrix}$. Das System $4\Delta x + \Delta y = -0{,}25$, $0{,}5\Delta x + 2\Delta y = 0$ ergibt $\Delta x \approx -0{,}0667$, $\Delta y \approx 0{,}0167$.
| n | xₙ | yₙ |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 0,5 |
| 1 | 1,933333 | 0,516667 |
| 2 | 1,931853 | 0,517637 |
| 3 | 1,931852 | 0,517638 |
Nach drei Schritten stimmen sechs Nachkommastellen. Aus Symmetriegründen sind auch $(0{,}517638 \mid 1{,}931852)$ und die beiden Punkte mit negativen Koordinaten Lösungen – welche man findet, hängt vom Startpunkt ab.
Typische Fehler
- Zeilen und Spalten vertauscht: In der Jacobi-Matrix gehört jede Zeile zu einer Komponente, jede Spalte zu einer Variablen.
- Kettenregel: nur einen Anteil berücksichtigt: Ändern sich beide Variablen, gehören beide Summanden $f_x\dot x$ und $f_y\dot y$ dazu.
- Taylor: Faktor 2 beim gemischten Glied vergessen: Es heißt $\frac12(f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2)$, also $f_{xy}\,hk$ ohne ½.
- Newton: durch die Matrix „teilen“: Man löst das lineare Gleichungssystem $J\,\Delta\vec x = -F$ (z. B. mit dem Gauß-Verfahren oder der Cramerschen Regel).
Online üben: Jacobi-Matrix und Jacobi-Determinante
Stufe 1: Jacobi-Matrix im Punkt
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Aufgabe 1
\(F(x, y)\) \(= \begin{pmatrix}-2xy^{2} - y \\ 3x^{2}y^{2} + 3x^{2}\end{pmatrix},\) \(J_F(2 \mid 0)\)\(J =\)\(J_F = \begin{pmatrix}-2y^{2} & -4xy - 1 \\ 6xy^{2} + 6x & 6x^{2}y\end{pmatrix},\) \(J_F(2 \mid 0)\) \(= \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 12 & 0\end{pmatrix}\)
-
Aufgabe 2
\(F(x, y)\) \(= \begin{pmatrix}3x^{2}y^{2} + 6y^{2} \\ -xy - 3y\end{pmatrix},\) \(J_F(2 \mid -2)\)\(J =\)\(J_F = \begin{pmatrix}6xy^{2} & 6x^{2}y + 12y \\ -y & -x - 3\end{pmatrix},\) \(J_F(2 \mid -2)\) \(= \begin{pmatrix}48 & -72 \\ 2 & -5\end{pmatrix}\)
-
Aufgabe 3
\(F(x, y)\) \(= \begin{pmatrix}3xy + x \\ xy^{2} - 4xy\end{pmatrix},\) \(J_F(-2 \mid 2)\)\(J =\)\(J_F = \begin{pmatrix}3y + 1 & 3x \\ y^{2} - 4y & 2xy - 4x\end{pmatrix},\) \(J_F(-2 \mid 2)\) \(= \begin{pmatrix}7 & -6 \\ -4 & 0\end{pmatrix}\)
-
Aufgabe 4
\(F(x, y)\) \(= \begin{pmatrix}3x^{2}y + 6x \\ 3xy + 5y\end{pmatrix},\) \(J_F(0 \mid 1)\)\(J =\)\(J_F = \begin{pmatrix}6xy + 6 & 3x^{2} \\ 3y & 3x + 5\end{pmatrix},\) \(J_F(0 \mid 1)\) \(= \begin{pmatrix}6 & 0 \\ 3 & 5\end{pmatrix}\)
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Aufgabe 5
\(F(x, y)\) \(= \begin{pmatrix}-5xy - y \\ -3xy^{2} + 4x^{2}\end{pmatrix},\) \(J_F(-1 \mid 1)\)\(J =\)\(J_F = \begin{pmatrix}-5y & -5x - 1 \\ -3y^{2} + 8x & -6xy\end{pmatrix},\) \(J_F(-1 \mid 1)\) \(= \begin{pmatrix}-5 & 4 \\ -11 & 6\end{pmatrix}\)
-
Aufgabe 6
\(F(x, y)\) \(= \begin{pmatrix}5xy^{2} + 2y^{2} \\ -6xy^{2} + x^{2}\end{pmatrix},\) \(J_F(-2 \mid 2)\)\(J =\)\(J_F = \begin{pmatrix}5y^{2} & 10xy + 4y \\ -6y^{2} + 2x & -12xy\end{pmatrix},\) \(J_F(-2 \mid 2)\) \(= \begin{pmatrix}20 & -32 \\ -28 & 48\end{pmatrix}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Jacobi-Matrix und Jacobi-Determinante
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Online üben: Kettenregel
Stufe 1: Wert bei t₀
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Aufgabe 1
\(f(x, y)\) \(= 3xy^{2} - 6y,\) \(x(t) = t + 1,\) \(y(t) = 2t^{2} + 1:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\Big|_{t = -1}\)\(f'(-1) =\)\(f_x = 3y^{2},\) \(f_y = 6xy - 6;\) \((x \mid y) = (0 \mid 3),\) \(x'(t_0)\) \(= 1,\) \(y'(t_0)\) \(= -4:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = 27\cdot 1 + (-6)\cdot (-4)\) \(= 51\)
-
Aufgabe 2
\(f(x, y)\) \(= -4xy^{2} + 2xy + 3y,\) \(x(t) = t + 1,\) \(y(t) = 2t^{2} + 2:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\Big|_{t = 1}\)\(f'(1) =\)\(f_x = -4y^{2} + 2y,\) \(f_y = -8xy + 2x + 3;\) \((x \mid y) = (2 \mid 4),\) \(x'(t_0)\) \(= 1,\) \(y'(t_0)\) \(= 4:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = -56\cdot 1 + (-57)\cdot 4\) \(= -284\)
-
Aufgabe 3
\(f(x, y)\) \(= 2x^{2}y^{2} - x^{2} + 5y,\) \(x(t) = -3t - 1,\) \(y(t) = t^{2} + 2:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\Big|_{t = 0}\)\(f'(0) =\)\(f_x = 4xy^{2} - 2x,\) \(f_y = 4x^{2}y + 5;\) \((x \mid y) = (-1 \mid 2),\) \(x'(t_0)\) \(= -3,\) \(y'(t_0)\) \(= 0:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = -14\cdot (-3) + 13\cdot 0\) \(= 42\)
-
Aufgabe 4
\(f(x, y)\) \(= -3x^{2}y - 2x - 5y,\) \(x(t) = -t + 1,\) \(y(t) = -2t^{2} + 2:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\Big|_{t = 0}\)\(f'(0) =\)\(f_x = -6xy - 2,\) \(f_y = -3x^{2} - 5;\) \((x \mid y) = (1 \mid 2),\) \(x'(t_0)\) \(= -1,\) \(y'(t_0)\) \(= 0:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = -14\cdot (-1) + (-8)\cdot 0\) \(= 14\)
-
Aufgabe 5
\(f(x, y)\) \(= x^{2} + 5xy,\) \(x(t) = -2t - 1,\) \(y(t) = t^{2} - 2:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\Big|_{t = -1}\)\(f'(-1) =\)\(f_x = 2x + 5y,\) \(f_y = 5x;\) \((x \mid y) = (1 \mid -1),\) \(x'(t_0)\) \(= -2,\) \(y'(t_0)\) \(= -2:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = -3\cdot (-2) + 5\cdot (-2)\) \(= -4\)
-
Aufgabe 6
\(f(x, y)\) \(= 6xy - 3y^{2} - 4y,\) \(x(t) = t - 1,\) \(y(t) = t^{2} + 2:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\Big|_{t = -1}\)\(f'(-1) =\)\(f_x = 6y,\) \(f_y = 6x - 6y - 4;\) \((x \mid y) = (-2 \mid 3),\) \(x'(t_0)\) \(= 1,\) \(y'(t_0)\) \(= -2:\) \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = 18\cdot 1 + (-34)\cdot (-2)\) \(= 86\)
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Arbeitsblatt: Mehrdimensionale Kettenregel
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Online üben: Taylorpolynom 2. Ordnung
Stufe 1: Polynom in (0 | 0)
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Aufgabe 1
\(f(x, y) = 5x^{2}y - 6x^{2} - 4xy + 2y + 1\)\(T_2 =\)\(T_2(x, y) = -6x^{2} - 4xy + 2y + 1\) \((\)alle Glieder bis Grad 2\()\)
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Aufgabe 2
\(f(x, y) = -2x^{2}y - 3y^{2} - 5x - y - 1\)\(T_2 =\)\(T_2(x, y) = -3y^{2} - 5x - y - 1\) \((\)alle Glieder bis Grad 2\()\)
-
Aufgabe 3
\(f(x, y) = -6xy^{2} + 2xy - 6y^{2} + y + 3\)\(T_2 =\)\(T_2(x, y) = 2xy - 6y^{2} + y + 3\) \((\)alle Glieder bis Grad 2\()\)
-
Aufgabe 4
\(f(x, y) = -3x^{2}y + 5xy - y^{2} - 2y + 1\)\(T_2 =\)\(T_2(x, y) = 5xy - y^{2} - 2y + 1\) \((\)alle Glieder bis Grad 2\()\)
-
Aufgabe 5
\(f(x, y) = 5x^{2}y - xy^{2} + x + 2y - 3\)\(T_2 =\)\(T_2(x, y) = x + 2y - 3\) \((\)alle Glieder bis Grad 2\()\)
-
Aufgabe 6
\(f(x, y) = 3xy^{2} + 5x^{2} - 3y^{2} - x + 3\)\(T_2 =\)\(T_2(x, y) = 5x^{2} - 3y^{2} - x + 3\) \((\)alle Glieder bis Grad 2\()\)
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Arbeitsblatt: Taylorpolynom 2. Ordnung in zwei Variablen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Online üben: Newton-Verfahren in 2D
Stufe 1: Jacobi-Determinante
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Aufgabe 1
\(f_1 = x^{2} - y + 2\) \(= 0,\) \(f_2 = x + y^{2} + 1\) \(= 0,\) \((x_0 \mid y_0)\) \(= (2 \mid -2)\)\(\det J =\)\(J = \begin{pmatrix}4 & -1 \\ 1 & -4\end{pmatrix},\) \(F = (8, 7),\) \(\det J = -15\)
-
Aufgabe 2
\(f_1 = x^{2} + y^{2} - 3\) \(= 0,\) \(f_2 = x - y - 1\) \(= 0,\) \((x_0 \mid y_0)\) \(= (0 \mid 1)\)\(\det J =\)\(J = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix},\) \(F = (-2, -2),\) \(\det J = -2\)
-
Aufgabe 3
\(f_1 = x^{2} + y^{2} - 8\) \(= 0,\) \(f_2 = x - y + 3\) \(= 0,\) \((x_0 \mid y_0)\) \(= (-2 \mid -2)\)\(\det J =\)\(J = \begin{pmatrix}-4 & -4 \\ 1 & -1\end{pmatrix},\) \(F = (0, 3),\) \(\det J = 8\)
-
Aufgabe 4
\(f_1 = x^{2} - y - 4\) \(= 0,\) \(f_2 = x + y^{2} - 4\) \(= 0,\) \((x_0 \mid y_0)\) \(= (-3 \mid 0)\)\(\det J =\)\(J = \begin{pmatrix}-6 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\) \(F = (5, -7),\) \(\det J = 1\)
-
Aufgabe 5
\(f_1 = xy + 3\) \(= 0,\) \(f_2 = x + y + 1\) \(= 0,\) \((x_0 \mid y_0)\) \(= (-2 \mid 2)\)\(\det J =\)\(J = \begin{pmatrix}2 & -2 \\ 1 & 1\end{pmatrix},\) \(F = (-1, 1),\) \(\det J = 4\)
-
Aufgabe 6
\(f_1 = x^{2} + y^{2} - 8\) \(= 0,\) \(f_2 = x - y - 2\) \(= 0,\) \((x_0 \mid y_0)\) \(= (-2 \mid 0)\)\(\det J =\)\(J = \begin{pmatrix}-4 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix},\) \(F = (-4, -4),\) \(\det J = 4\)
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Arbeitsblatt: Newton-Verfahren für Gleichungssysteme
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Alles davon rechnet der Rechner für Funktionen mehrerer Variablen mit Rechenweg: Jacobi-Matrix, Kettenregel entlang einer Kurve, Taylorpolynom 2. Ordnung und das Newton-Verfahren für zwei Gleichungen. Wie man mit der Jacobi-Determinante Doppelintegrale umrechnet, zeigt die Seite Doppelintegrale.
Weiterlesen: Jacobi-Matrix, Kettenregel bei Wikipedia