Komplexe Zahlen
Die Gleichung $x^2 = -1$ hat keine reelle Lösung – kein Quadrat einer reellen Zahl ist negativ. Mit den komplexen Zahlen erweitert man die Zahlen so, dass jede quadratische Gleichung lösbar wird. In Ingenieurwesen, Physik und Informatik gehören sie zum ersten Semester: Wechselstrom, Schwingungen und Signalverarbeitung rechnen damit.
Die imaginäre Einheit i
Man führt eine neue Zahl $i$ ein, die imaginäre Einheit, mit der Eigenschaft
Damit hat $x^2 = -1$ die Lösungen $x = i$ und $x = -i$. Auch Wurzeln aus negativen Zahlen lassen sich jetzt schreiben: $\sqrt{-9} = 3i$, denn $(3i)^2 = 9 \cdot i^2 = -9$.
| $i^1$ | $i^2$ | $i^3$ | $i^4$ | $i^5$ | $i^6$ | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $i$ | $-1$ | $-i$ | $1$ | $i$ | $-1$ | … |
Die Potenzen von $i$ wiederholen sich mit der Periode 4. Für $i^{n}$ zählt also nur der Rest von $n$ beim Teilen durch 4: $i^{23} = i^{20} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$.
Die Form z = a + bi
Jede komplexe Zahl lässt sich als $z = a + bi$ mit reellen Zahlen $a$ und $b$ schreiben (algebraische Form oder Normalform).
- $a = \operatorname{Re}(z)$ heißt Realteil, $b = \operatorname{Im}(z)$ heißt Imaginärteil – der Imaginärteil ist die reelle Zahl vor dem $i$.
- Ist $b = 0$, ist $z$ eine reelle Zahl. Die reellen Zahlen sind also ein Teil der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$.
- Ist $a = 0$, heißt $z = bi$ rein imaginär.
- Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn Real- und Imaginärteil übereinstimmen.
Die Gaußsche Zahlenebene
Eine komplexe Zahl $a + bi$ stellt man als Punkt $(a \mid b)$ oder als Pfeil vom Ursprung dorthin dar. Waagerecht liegt die reelle Achse (Re), senkrecht die imaginäre Achse (Im).
Das Konjugierte $\overline{z} = a - bi$ entsteht durch Spiegeln an der reellen Achse. Der Betrag $|z|$ ist die Länge des Pfeils – nach dem Satz des Pythagoras:
Rechnen mit komplexen Zahlen
Du rechnest wie mit Termen, in denen $i$ als Variable vorkommt – und ersetzt am Ende $i^2$ durch $-1$.
Rechenregeln für z = a + bi und w = c + di
- Addieren: $z + w = (a + c) + (b + d)\,i$ (Real- und Imaginärteile getrennt)
- Subtrahieren: $z - w = (a - c) + (b - d)\,i$
- Multiplizieren: $z \cdot w = (ac - bd) + (ad + bc)\,i$ (ausmultiplizieren, $i^2 = -1$)
- Dividieren: $\dfrac{z}{w} = \dfrac{z \cdot \overline{w}}{w \cdot \overline{w}}$ $= \dfrac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}$ (mit dem Konjugierten erweitern)
Beispiel: Multiplizieren
$(3 + 2i)(1 - 4i)$ $= 3 - 12i + 2i - 8i^2$ $= 3 - 10i + 8$ $= 11 - 10i$
Beispiel: Dividieren
Durch das Erweitern mit dem Konjugierten wird der Nenner reell – dann teilst Du Real- und Imaginärteil einzeln.
Polarform und Exponentialform
Statt durch $a$ und $b$ kann man eine komplexe Zahl auch durch die Länge $r = |z|$ und den Winkel $\varphi$ des Pfeils zur positiven reellen Achse beschreiben (Argument von $z$):
Umrechnen in die Form $a + bi$: $\;a = r\cos\varphi,\; b = r\sin\varphi$.
Umrechnen in die Polarform: $\;r = \sqrt{a^2 + b^2}$, Winkel über $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ – aber Quadrant beachten!
| Lage von z | Winkel |
|---|---|
| $a > 0$ (rechts) | $\varphi = \arctan\frac{b}{a}$, bei negativem Ergebnis $+360^\circ$ |
| $a < 0$ (links) | $\varphi = \arctan\frac{b}{a} + 180^\circ$ |
| $a = 0$ | $\varphi = 90^\circ$ für $b > 0$, $\varphi = 270^\circ$ für $b < 0$ |
Beispiel
$z = -3 + 3i$: $r = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$. Der Taschenrechner liefert $\arctan\frac{3}{-3} = -45^\circ$; weil $z$ links liegt, ist $\varphi = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ = \frac{3\pi}{4}$. Also $z = 3\sqrt{2}\,(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ)$ $= 3\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}$.
Die Exponentialform beruht auf der Eulerschen Formel $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ (Winkel im Bogenmaß). Für $\varphi = \pi$ ergibt sich die berühmte Gleichung $e^{i\pi} + 1 = 0$. Wie Bogenmaß und Einheitskreis funktionieren, steht unter Bogenmaß und Einheitskreis.
Multiplizieren in Polarform und die Formel von Moivre
In der Polarform wird das Multiplizieren besonders einfach: Beträge multiplizieren, Winkel addieren. Beim Dividieren teilt man die Beträge und subtrahiert die Winkel. Geometrisch ist die Multiplikation eine Drehstreckung.
Beispiel: (1 + i)⁸
$1 + i$ hat den Betrag $\sqrt{2}$ und den Winkel $45^\circ$. Also $(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot (\cos 360^\circ + i\sin 360^\circ)$ $= 16 \cdot 1 = 16$. Ausmultiplizieren wäre hier viel mühsamer.
n-te Wurzeln
Die Gleichung $z^n = w$ hat für $w \neq 0$ genau $n$ verschiedene komplexe Lösungen. Sie haben alle denselben Betrag $\sqrt[n]{|w|}$ und liegen als regelmäßiges n-Eck auf einem Kreis um den Ursprung:
Beispiel: z³ = 8
$w = 8$ hat $r = 8$ und $\varphi = 0^\circ$. Betrag der Lösungen: $\sqrt[3]{8} = 2$, Winkel $0^\circ$, $120^\circ$ und $240^\circ$:
$z_0 = 2,$ $z_1 = -1 + \sqrt{3}\,i,$ $z_2 = -1 - \sqrt{3}\,i$
Nur $z_0 = 2$ ist reell – die anderen beiden „sieht“ man im Reellen nicht.
Quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante
Ist bei der abc-Formel der Ausdruck unter der Wurzel negativ, gibt es keine reellen Lösungen – aber zwei komplexe. Sie sind immer zueinander konjugiert.
Beispiel: z² − 4z + 13 = 0
Probe: $(2 + 3i)^2 - 4(2 + 3i) + 13$ $= (4 + 12i - 9) - 8 - 12i + 13 = 0$ ✓
Allgemein gilt der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad $n$ hat – mit Vielfachheit gezählt – genau $n$ komplexe Nullstellen. In den komplexen Zahlen „geht“ jede Polynomgleichung auf.
Typische Fehler
- $i^2 = -1$ vergessen: $(2i)^2$ ist $-4$, nicht $4$.
- Den Imaginärteil mit $i$ angeben: Bei $z = 3 - 5i$ ist $\operatorname{Im}(z) = -5$, nicht $-5i$.
- Den Winkel nur mit $\arctan\frac{b}{a}$ berechnen – für Zahlen links der imaginären Achse kommen $180^\circ$ dazu.
- Wurzelgesetze ungeprüft übernehmen: $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = 2i \cdot 3i = -6$, aber $\sqrt{(-4)(-9)} = 6$. Die Regel $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ gilt nur für $a, b \ge 0$.
- Beim Dividieren einfach Realteile durch Realteile teilen – erst mit dem Konjugierten erweitern.
Online üben
Stufe 1: Rechnen in der Form a + bi
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Aufgabe 1
\((3 + i) \cdot (-6 + 5i)\)\((3 + i) \cdot (-6 + 5i) = -23 + 9i\)
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Aufgabe 2
\(\frac{-12 - 16i}{4 - 3i}\)\(\frac{-12 - 16i}{4 - 3i} = -4i\)
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Aufgabe 3
\(i^{40}\)\(i^{40} = 1\)
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Aufgabe 4
\((7 - 4i) \cdot (-3 - i)\)\((7 - 4i) \cdot (-3 - i) = -25 + 5i\)
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Aufgabe 5
\((5 + 4i)^2\)\((5 + 4i)^2 = 9 + 40i\)
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Aufgabe 6
\((5 - 3i) \cdot (3 - 3i)\)\((5 - 3i) \cdot (3 - 3i) = 6 - 24i\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Komplexe Zahlen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Eigene Aufgaben rechnen? Der Rechner für komplexe Zahlen rechnet mit Rechenweg, wandelt in die Polarform um, potenziert und zieht n-te Wurzeln. Zur Wiederholung vor dem Studium: Brückenkurs Mathe, abc-Formel und Rechnen mit Vektoren (Addieren in der Zahlenebene funktioniert genauso).
Weiterlesen: Komplexe Zahl, Gaußsche Zahlenebene bei Wikipedia