Kruskal-Wallis-Test
Die Varianzanalyse vergleicht die Mittelwerte von drei oder mehr Gruppen – vorausgesetzt, die Werte sind in jeder Gruppe ungefähr normalverteilt. Sind sie schief, gibt es Ausreißer oder nur eine Rangfolge (Noten, Bewertungen), nimmt man den Kruskal-Wallis-Test. Er ist die Erweiterung des Mann-Whitney-U-Tests auf beliebig viele unabhängige Gruppen.
Die Idee: Ränge über alle Gruppen
Alle $N$ Werte werden gemeinsam geordnet und bekommen die Ränge 1 bis $N$. Unterscheiden sich die Gruppen nicht, sollten die mittleren Ränge aller Gruppen ungefähr gleich sein – nämlich etwa $\frac{N + 1}{2}$, der mittlere Rang überhaupt. Liegt eine Gruppe deutlich höher, sammeln sich dort die großen Ränge.
Schläft man nach dem Handy schlechter ein?
15 Personen wurden zufällig auf drei Abendroutinen verteilt. Gemessen wurde, wie viele Minuten es bis zum Einschlafen dauerte. Gemeinsam geordnet (blau: Lesen, orange: Handy, grün: Musik):
- 9 Rang 1
- 11 Rang 2
- 12 Rang 3
- 14 Rang 4
- 15 Rang 5
- 16 Rang 6
- 18 Rang 7
- 19 Rang 8
- 20 Rang 9
- 22 Rang 10
- 24 Rang 11
- 25 Rang 12
- 28 Rang 13
- 31 Rang 14
- 35 Rang 15
Rangsummen: Lesen $R_1 = 26$, Handy $R_2 = 62$, Musik $R_3 = 32$. Probe: $\frac{15 \cdot 16}{2} = 120$. Die mittleren Ränge sind 5,2, 12,4 und 6,4 – gegenüber dem Gesamtmittel 8 fällt die Handy-Gruppe deutlich aus der Reihe.
Die Testgröße H
Merke: Kruskal-Wallis-Testgröße
$k$ Gruppen mit $n_j$ Werten und Rangsumme $R_j$, $N = n_1 + \ldots + n_k$. Gleichwertig ist $H = \frac{12}{N(N + 1)} \sum n_j \left(\overline{R}_j - \frac{N + 1}{2}\right)^2$: H wächst, je weiter die mittleren Ränge $\overline{R}_j$ vom Gesamtmittel entfernt liegen. Unter $H_0$ ist H ungefähr χ²-verteilt mit $k - 1$ Freiheitsgraden; abgelehnt wird bei großem H.
Im Beispiel:
Bei $k - 1 = 2$ Freiheitsgraden und α = 5 % liegt der kritische Wert bei $\chi^2_{2;\,0{,}95} \approx 5{,}99$. Wegen $H \geq 5{,}99$ wird $H_0$ abgelehnt: Die Abendroutinen unterscheiden sich in der Einschlafzeit (p-Wert $\approx 0{,}024$).
Kritische Werte der χ²-Verteilung
| Gruppen k | df = k − 1 | α = 10 % | α = 5 % | α = 1 % |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 2,71 | 3,84 | 6,63 |
| 3 | 2 | 4,61 | 5,99 | 9,21 |
| 4 | 3 | 6,25 | 7,81 | 11,34 |
| 5 | 4 | 7,78 | 9,49 | 13,28 |
| 6 | 5 | 9,24 | 11,07 | 15,09 |
| 7 | 6 | 10,64 | 12,59 | 16,81 |
| 8 | 7 | 12,02 | 14,07 | 18,48 |
Gleiche Werte
Gleiche Werte erhalten den Durchschnitt der Ränge, die sie zusammen belegen. Weil das die Streuung der Ränge etwas verringert, teilt man H durch einen Korrekturfaktor:
Dabei ist $t$ die Größe einer Gruppe gleicher Werte. Bei wenigen Bindungen liegt $C$ nahe bei 1 und ändert kaum etwas; bei Schulnoten mit vielen gleichen Werten kann die Korrektur dagegen den Ausschlag geben.
Voraussetzungen und Grenzen
- Die Gruppen müssen unabhängig sein. Werden dieselben Personen mehrfach gemessen, passt der Friedman-Test (bzw. bei zwei Messungen der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test).
- Die χ²-Näherung ist ab etwa 5 Werten je Gruppe brauchbar. Bei sehr kleinen Gruppen gibt es Tabellen mit exakten kritischen Werten.
- Ein signifikantes Ergebnis sagt nur: Mindestens eine Gruppe liegt höher oder tiefer. Welche, zeigen paarweise U-Tests mit angepasstem Niveau (z. B. Bonferroni: bei 3 Vergleichen jeweils α : 3).
- Als Effektstärke dient $\varepsilon^2 = \frac{H}{N - 1}$, im Beispiel etwa 0,53.
Kruskal-Wallis-Test oder Varianzanalyse?
| Varianzanalyse | Kruskal-Wallis-Test | |
|---|---|---|
| vergleicht | Mittelwerte | die Lage der Verteilungen (mittlere Ränge) |
| Voraussetzung | Normalverteilung und ähnliche Streuung in jeder Gruppe | nur unabhängige Gruppen und eine Rangfolge |
| Testgröße | $F = \frac{MQ_{zw}}{MQ_{in}}$, F-Verteilung | $H$, χ²-Verteilung mit $k - 1$ Freiheitsgraden |
| bei zwei Gruppen | entspricht dem t-Test | entspricht dem U-Test (Normalnäherung) |
Wie die Varianzanalyse funktioniert, steht auf der eigenen Seite. Eigene Daten mit Rangtabelle und Grafik rechnet der Kruskal-Wallis-Rechner.
Übungsaufgaben
Stufe 1: H aus Rangsummen, Stufe 2: H aus Messwerten mit Entscheidung, Stufe 3: H aus mittleren Rängen.
Stufe 1: H aus den Rangsummen
-
Aufgabe 1
\(n_1 = 5,\) \(n_2 = 4,\) \(n_3 = 4;\) \(R_1 = 15,\) \(R_2 = 33,\) \(R_3 = 43\text{. } H\text{?}\)\(H \approx\)\(N = 13;\) \(H = \tfrac{12}{13 \cdot 14} \left(\tfrac{15^2}{5} + \tfrac{33^2}{4} + \tfrac{43^2}{4}\right) - 3 \cdot 14\) \(\approx 9{,}4\)
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Aufgabe 2
\(n_1 = 4,\) \(n_2 = 6,\) \(n_3 = 6;\) \(R_1 = 11,\) \(R_2 = 45,\) \(R_3 = 80\text{. } H\text{?}\)\(H \approx\)\(N = 16;\) \(H = \tfrac{12}{16 \cdot 17} \left(\tfrac{11^2}{4} + \tfrac{45^2}{6} + \tfrac{80^2}{6}\right) - 3 \cdot 17\) \(\approx 12{,}28\)
-
Aufgabe 3
\(n_1 = 5,\) \(n_2 = 5,\) \(n_3 = 4;\) \(R_1 = 40,\) \(R_2 = 34,\) \(R_3 = 31\text{. } H\text{?}\)\(H \approx\)\(N = 14;\) \(H = \tfrac{12}{14 \cdot 15} \left(\tfrac{40^2}{5} + \tfrac{34^2}{5} + \tfrac{31^2}{4}\right) - 3 \cdot 15\) \(\approx 0{,}23\)
-
Aufgabe 4
\(n_1 = 5,\) \(n_2 = 5,\) \(n_3 = 6;\) \(R_1 = 53,\) \(R_2 = 32,\) \(R_3 = 51\text{. } H\text{?}\)\(H \approx\)\(N = 16;\) \(H = \tfrac{12}{16 \cdot 17} \left(\tfrac{53^2}{5} + \tfrac{32^2}{5} + \tfrac{51^2}{6}\right) - 3 \cdot 17\) \(\approx 1{,}95\)
-
Aufgabe 5
\(n_1 = 7,\) \(n_2 = 6,\) \(n_3 = 7;\) \(R_1 = 29,\) \(R_2 = 87,\) \(R_3 = 94\text{. } H\text{?}\)\(H \approx\)\(N = 20;\) \(H = \tfrac{12}{20 \cdot 21} \left(\tfrac{29^2}{7} + \tfrac{87^2}{6} + \tfrac{94^2}{7}\right) - 3 \cdot 21\) \(\approx 12{,}54\)
-
Aufgabe 6
\(n_1 = 7,\) \(n_2 = 5,\) \(n_3 = 7;\) \(R_1 = 54,\) \(R_2 = 45,\) \(R_3 = 91\text{. } H\text{?}\)\(H \approx\)\(N = 19;\) \(H = \tfrac{12}{19 \cdot 20} \left(\tfrac{54^2}{7} + \tfrac{45^2}{5} + \tfrac{91^2}{7}\right) - 3 \cdot 20\) \(\approx 3{,}3\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kruskal-Wallis-Test
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Weiterlesen: Kruskal-Wallis-Test, Nichtparametrische Statistik bei Wikipedia